Một công ty sản xuất một sản phẩm. Bộ phận tài chính của công ty đưa ra hàm giá bán là $p\left( x \right)=1000-25x$, trong đó $p\left( x \right)$ là giá bán của mỗi sản phẩm mà tại giá bán này có x sản phẩm được bán ra.

Một công ty sản xuất một sản phẩm. Bộ phận tài chính của công ty đưa ra hàm giá bán là $p\left( x \right)=1000-25x$, trong đó $p\left( x \right)$ là giá bán của mỗi sản phẩm mà tại giá bán này có x sản phẩm được bán ra.

a) Hàm doanh thu của công ty là $f\left( x \right)=p\left( x \right)$.

b) Hàm số $f\left( x \right)=-25{{x}^{2}}+1000x$ có đạo hàm ${f}’\left( x \right)=-25x+1000$.

c) Nếu $f\left( x \right)=x \cdot p\left( x \right)$ là hàm doanh thu thì phương trình ${f}’\left( x \right)=0$ có nghiệm là $\text{x}=2$.

d) Hàm doanh thu đạt giá trị lớn nhất bằng $5000$.

Lời giải:
Hàm giá bán là $p\left( x \right)=1000-25x$.
Hàm doanh thu của công ty là $f\left( x \right)=x \cdot p\left( x \right)=x\left( 1000-25x \right)=-25{{x}^{2}}+1000x$.
Đạo hàm của hàm doanh thu là ${f}’\left( x \right)=-50x+1000$.
Để tìm giá trị lớn nhất của doanh thu, ta giải phương trình ${f}’\left( x \right)=0$:
$-50x+1000=0 \Leftrightarrow 50x=1000 \Leftrightarrow x=20$.
Vì hàm số $f\left( x \right)=-25{{x}^{2}}+1000x$ là một parabol có hệ số ${{x}^{2}}$ âm (bề lõm quay xuống), nên nó đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol.
Giá trị doanh thu lớn nhất là $f\left( 20 \right)=-25{{\left( 20 \right)}^{2}}+1000\left( 20 \right)=-25 \cdot 400+20000=-10000+20000=10000$.
(Sai) Hàm doanh thu của công ty là $f\left( x \right)=p\left( x \right)$.
(Vì): Hàm doanh thu của công ty bằng giá bán của mỗi sản phẩm nhân với số sản phẩm được bán ra, không phải chỉ bằng giá bán $p\left( x \right)$.
(Sai) Hàm số $f\left( x \right)=-25{{x}^{2}}+1000x$ có đạo hàm ${f}’\left( x \right)=-25x+1000$.
(Vì): Ta có $f\left( x \right)=-25{{x}^{2}}+1000x$. Suy ra đạo hàm ${f}’\left( x \right)=-25 \cdot 2x+1000 = -50x+1000$. Đạo hàm đã cho là sai.
(Sai) Nếu $f\left( x \right)=x \cdot p\left( x \right)$ là hàm doanh thu thì phương trình ${f}’\left( x \right)=0$ có nghiệm là $\text{x}=2$.
(Vì): Ta có ${f}’\left( x \right)=-50x+1000$. Giải phương trình ${f}’\left( x \right)=0 \Leftrightarrow -50x+1000=0 \Leftrightarrow x=20$. Nghiệm $x=2$ là sai.
(Sai) Hàm doanh thu đạt giá trị lớn nhất bằng $5000$.
(Vì): Hàm số $f\left( x \right)=-25{{x}^{2}}+1000x$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=20$. Giá trị lớn nhất là $f\left( 20 \right)=-25{{\left( 20 \right)}^{2}}+1000\left( 20 \right)=10000$. Giá trị $5000$ là sai.