Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phằng nằm ngang.

Bài toán: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phằng nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao của mực cát bằng $\dfrac{2}{3}$ chiều cao của bên đó (xem hình vẽ). Cát chảy từ trên xuống dưới với tốc độ $v\left(t\right)=0,2t+13\left(\mathrm{\,\;c}\mathrm{\,m}^{3}/\right. $ phút $)$. Khi chiều cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi bằng $8\pi \mathrm{\,\;cm}$. Biết sau 20 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài bằng bao nhiêu centimet? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lòi giải Gọi $\left(P\right)$ là parabol phía trên. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho đỉnh $O$ trùng với đỉnh của parabol và trục $Oy$ là trục đối ứng của parabol. Khi chiều cao của cát là 4 cm , chu vi đường tròn bề mặt cát là $8\pi \mathrm{\,\;cm}$ nên bán kính đường tròn là $r=\dfrac{8\pi }{2\pi }=4\mathrm{\,\;cm}$ Vậy parabol $\left(P\right)$ đi qua điểm $A\left(4;4\right)$, thay vào phương trình $y=ax^{2}\Leftrightarrow 4=a.4^{2}\Rightarrow a=\dfrac{1}{4}$ Khi đó phương trình của parabol $\left(P\right):y=\dfrac{x^{2}}{4}$ Thể tích cát ban đầu bằng thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay nhánh phải của parabol $\left(P\right)$ quanh trục $Oy$. Thể tích này cũng bằng lượng cát chảy xuống trong 20 phút. Thể tích ban đầu là: Lượng cát chảy ra trong 20 phút bằng: Do đó $2\pi h^{2}=300\Leftrightarrow h^{2}=\dfrac{300}{2\pi }\Rightarrow h=\sqrt {\dfrac{150}{\pi }} $ Chiều cao của mực cát ban đầu bằng $\dfrac{2}{3}$ chiều cao của một bên parabol, tức là $h=\dfrac{2}{3}H$ với $H$ là chiều cao một bên của parabol. Vậy chiều cao của khối trụ bên ngoài là: $l=2\cdot \dfrac{3}{2}\cdot \sqrt {\dfrac{150}{\pi }} =21\mathrm{\,\;cm}$.