Xét các số thực dương \(x\), \(y\) thỏa mãn \(y{\log _2}\left( {8x + 2y + 32} \right) – 4x = {x^2} + \left( {{x^2} + 4x + y} \right){\log _2}\left( {x + 4} \right)\)Khi biểu thức \(y – 2{x^3}\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(x – 2{y^3}\) bằng

Xét các số thực dương \(x\), \(y\) thỏa mãn \(y{\log _2}\left( {8x + 2y + 32} \right) – 4x = {x^2} + \left( {{x^2} + 4x + y} \right){\log _2}\left( {x + 4} \right)\)Khi biểu thức \(y – 2{x^3}\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(x – 2{y^3}\) bằng

A. \(3\).

B. \( – 3\).

C. \( – 249\).

D. \(249\).

Lời giải:

Ta có: \(y{\log _2}\left( {8x + 2y + 32} \right) – 4x = {x^2} + \left( {{x^2} + 4x + y} \right){\log _2}\left( {x + 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow y\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {4x + y + 16} \right)} \right] = y{\log _2}\left( {x + 4} \right) + x\left( {x + 4} \right)\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {x + 4} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow y\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {4x + y + 16} \right) – {{\log }_2}\left( {x + 4} \right)} \right] = x\left( {x + 4} \right)\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {x + 4} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow \frac{y}{{x + 4}}\left( {1 + {{\log }_2}\frac{{4x + y + 16}}{{x + 4}}} \right) = x\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {x + 4} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow \frac{y}{{x + 4}}\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {\frac{y}{{x + 4}} + 4} \right)} \right] = x\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {x + 4} \right)} \right]\) (1)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {x + 4} \right)} \right]\) xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Ta có: \(f’\left( x \right) = 1 + {\log _2}\left( {x + 4} \right) + \frac{x}{{\left( {x + 4} \right)\ln 2}} > 0,\forall x > 0\)

Suy ra \(f\left( x \right) = x\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {x + 4} \right)} \right]\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Suy ra, \(\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow \frac{y}{{x + 4}} = x \Leftrightarrow y = {x^2} + 4x\)

Nên \(y – 2{x^3} = – 2{x^3} + {x^2} + 4x\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = – 2{x^3} + {x^2} + 4x\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Ta có \(g’\left( x \right) = – 6{x^2} + 2x + 4\), \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Lập bảng biến thiên của \(g\left( x \right) = – 2{x^3} + {x^2} + 4x\), suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 3\) (đạt được khi và chỉ khi \(x = 1\)).

Với \(x = 1\) thì \(y = 5\) và \(x – 2{y^3} = – 249\).

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024