Cho hình chóp \(SABC\) có \(SC = 2a\) và \(SC \bot (ABC).\) Đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) và \(AB = a\sqrt 2 .\) Mặt phẳng \((\alpha )\) qua \(C\) và vuông góc với \(SA,\) \((\alpha )\) cắt \(SA,SB\) lần lượt tại \(D,E.\) Tính thể tích khối chóp \(SCDE.\)

Cho hình chóp \(SABC\) có \(SC = 2a\) và \(SC \bot (ABC).\) Đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) và \(AB = a\sqrt 2 .\) Mặt phẳng \((\alpha )\) qua \(C\) và vuông góc với \(SA,\) \((\alpha )\) cắt \(SA,SB\) lần lượt tại \(D,E.\) Tính thể tích khối chóp \(SCDE.\)

A. \(\frac{{{a^3}}}{9}\).

B. \(\frac{{2{a^3}}}{3}\).

C. \(\frac{{2{a^3}}}{9}\).

D. \(\frac{{2{a^3}}}{5}\).

Lời giải:

Ta có: \({V_{SABC}} = \frac{1}{3}SC.{S_{ABC}} = \frac{{2{a^3}}}{3}\)

\(\frac{{{V_{SCED}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SE}}{{SB}}.\frac{{SD}}{{SA}}\) hay \({V_{SCDE}} = \frac{{SE}}{{SB}}.\frac{{SD}}{{SA}}.{V_{SABC}}.\)

Theo giả thiết thì \(CD \bot SA\).

Trong tam giác vuông \(SCA\) có \(S{C^2} = SD.SA \Leftrightarrow \frac{{SD}}{{SA}} = {\left( {\frac{{SC}}{{SA}}} \right)^2} = \frac{1}{2}.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot BC}\\{AB \bot SC}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AB \bot CE\)

Lại có \((\alpha ) \bot SA \Rightarrow CE \bot SA\).

Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CE \bot AB}\\{CE \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow CE \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CE \bot SB\).

Trong tam giác vuông \(SBC\) có \(S{C^2} = SE.SB \Leftrightarrow \frac{{SE}}{{SB}} = {\left( {\frac{{SC}}{{SB}}} \right)^2} = \frac{2}{3}.\)

Vậy \({V_{SCED}} = \frac{1}{3}{V_{SABC}} = \frac{{2{a^3}}}{9}\).

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Thể tích đa diện.