Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có tất các cạnh đều bằng \(a\).Gọi \(O\) là tâm của tam giác \(ABC\).Tính khoảng cách từ \(O\) đến \((SCB)\).

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có tất các cạnh đều bằng \(a\).Gọi \(O\) là tâm của tam giác \(ABC\).Tính khoảng cách từ \(O\) đến \((SCB)\).

A. \(d\left( {O,\left( {SCB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {54} }}{2}\).

B. \(d\left( {O,\left( {SCB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {54} }}{4}\).

C. \(d\left( {O,\left( {SCB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

D. \(d\left( {O,\left( {SCB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {27} }}{2}\).

Lời giải:

Do \(S.ABC\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot CB\)

Gọi \(I\) là trung điểm \(CB\), ta có \(OI \bot CB,OI = \frac{1}{3}AI = \frac{{\sqrt 3 }}{6}a\).

Trong tam giác \(SOI\) kẻ \(OH \bot SI\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CB \bot OI\\CB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CB \bot (SOI) \supset OH \Rightarrow CB \bot OH\).

Mặt khác ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SI\\OH \bot CB\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot (SCB) \Rightarrow d\left( {O,(SCB)} \right) = OH\).

Ta có \(SO = \sqrt {S{C^2} – O{C^2}} = \sqrt {{a^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{I^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 6 a}}{3}} \right)}^2}}} = \frac{{27}}{{2{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt {27} }}{{\sqrt 2 }}\).

Vậy \(d\left( {O,\left( {SCB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {54} }}{2}\).

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian.