(Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình 2022) Cho các số thực \(a,b\) thỏa mãn \(\frac{1}{3} < b < a < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = {\log _a}\frac{{4(3b – 1)}}{9} + 8\log _{\frac{b}{a}}^2a\)

A. 7.

B. \(8.\)

C. 6.

D. 9.

Lời giải:

\(\begin{array}{l}{\rm{ V\`i }}\frac{1}{3} < b < a < 1{\rm{ n\^e n }}{(3b – 2)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {b^2} \ge \frac{{4(3b – 1)}}{9} \Rightarrow {\log _a}\frac{{4(3b – 1)}}{9} \le {\log _a}{b^2}\end{array}\)\(\)

Ta có \(8\log _{\frac{b}{a}}^2a = 8{\left( {\frac{1}{{{{\log }_a}b – 1}}} \right)^2}\)

Đặt \({\log _a}b = x\). Vì \(\frac{1}{3} < b < a < 1\) nên \(x = {\log _a}b > 1\). Khi đó

\(P = {\log _a}\frac{{4(3b – 1)}}{9} + 8\log _{\frac{b}{a}}^2a \ge {\log _a}{b^2} + 8{\left( {\frac{1}{{{{\log }_a}b – 1}}} \right)^2} \Rightarrow P \ge 2x + \frac{8}{{{{(x – 1)}^2}}}\)\(\)

Mà \(2x + \frac{8}{{{{(x – 1)}^2}}} = (x – 1) + (x – 1) + \frac{8}{{{{(x – 1)}^2}}} + 2 \ge 3 \cdot \sqrt[3]{{(x – 1) \cdot (x – 1) \cdot \frac{8}{{{{(x – 1)}^2}}}}} + 2 = 8\)

Suy ra \(P \ge 8\)

Dấu ” \( = \) ” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \frac{2}{3}}\\{a = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}}}}\end{array}} \right.\)

Vậy \(\min P = 8\).