Cho hình chóp S.ABCD có \(SC = x\,\,\left( {0 < x < a\sqrt 3 } \right)\), các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{a\sqrt m }}{n}\,\,\left( {m,n \in {N^*}} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABCD có \(SC = x\,\,\left( {0 < x < a\sqrt 3 } \right)\), các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{a\sqrt m }}{n}\,\,\left( {m,n \in {N^*}} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng? 

• 
  A.
  \(m + 2n = 10\) 
• 
  B.
  \(2{m^2} – 3n < 15\) 
• 
  C.
  \({m^2} – n = 30\) 
• 
  D.
  \(4m – {n^2} =  – 20\) 

Lời giải tham khảo:

Vì \(SA = SB = SD = a\) nên hình chiếu vuôn của của S trên (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Do tam giác ABD cân tại A \( \Rightarrow H \in AC\).

Dễ dàng chứng minh được:

\(\Delta SBD = \Delta ABD\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow SO = AO = \dfrac{{AC}}{2} \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại S (Tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy) \( \Rightarrow AC = \sqrt {S{A^2} + S{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có \(SH = \dfrac{{SA.SC}}{{AC}} = \dfrac{{a.x}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\)

Ta có \(OA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {x^2}}  \Rightarrow OB = \sqrt {A{B^2} – O{A^2}}  = \sqrt {{a^2} – \dfrac{{{a^2} + {x^2}}}{4}}  = \dfrac{{\sqrt {3{a^2} – {x^2}} }}{2}\)\( \Rightarrow BD = \sqrt {3{a^2} – {x^2}} \).

Do ABCD là hình thoi \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AC.BD\). Khi đó ta có:

\({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\sqrt {{a^2} + {x^2}} .\sqrt {3{a^2} – {x^2}}  = \dfrac{1}{6}ax\sqrt {3{a^2} – {x^2}} \)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(x\sqrt {3{a^2} – {x^2}}  \le \dfrac{{{x^2} + 3{a^2} – {x^2}}}{2} = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\)\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} \le \dfrac{1}{6}a\dfrac{{3{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{4}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} = 3{a^2} – {x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt m }}{n} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 6\\n = 2\end{array} \right. \Rightarrow m + 2n = 10\).

Chọn A.