Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( { – 2020;\,\,2020} \right)\) để hàm số \(y = \log \left[ {{{\log }_{2020}}\left( {{x^2} + 3{m^2}x + {{2020}^x} – 2m – 2021} \right)} \right]\) xác định với mọi \(x\) thuộc \(\left( {1;\, + \infty } \right)\)?

Câu hỏi:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( { – 2020;\,\,2020} \right)\) để hàm số \(y = \log \left[ {{{\log }_{2020}}\left( {{x^2} + 3{m^2}x + {{2020}^x} – 2m – 2021} \right)} \right]\) xác định với mọi \(x\) thuộc \(\left( {1;\, + \infty } \right)\)?

A. \(2019\).

B. \(4040\).

C. \(4038\).

D. \(4037\).

Lời giải

Điều kiện:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3{m^2}x + {2020^x} – 2m – 2021 > 0\\{\log _{2020}}\left( {{x^2} + 3{m^2}x + {{2020}^x} – 2m – 2021} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3{m^2}x + {2020^x} – 2m – 2021 > 0\\{x^2} + 3{m^2}x + {2020^x} – 2m – 2021 > 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 3{m^2}x + {2020^x} – 2m – 2022 > 0\).

Yêu cầu bài toán tương đương \({x^2} + 3{m^2}x + {2020^x} > 2m + 2022,\,\forall x \in \left( {1;\,\, + \infty } \right)\) \(\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 3{m^2}x + {2020^x},\,\forall x \in \left( {1;\,\, + \infty } \right)\).

Ta có \(f’\left( x \right) = 2x + 3{m^2} + {2020^x}\ln 2020 > 0,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

\(\left( * \right)\)\( \Leftrightarrow \)\(2m + 2022 < f\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2m + 2022 < 1 + 3{m^2} + 2020\)

\( \Leftrightarrow 3{m^2} – 2m – 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < \frac{{ – 1}}{3}\end{array} \right.\)

Vậy có \(4037\) giá trị nguyên \(m\) thỏa mãn.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit