Có bao nhiêu số nguyên \(m\) trên đoạn \(\left[ { – 2020\,;\,2020} \right]\) để hàm số \(y = {\log _5}\left( { – {x^2} + 2mx + m + 1} \right)\) xác định với mọi \(x \in \left( {1;2} \right)\)?

Câu hỏi:

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) trên đoạn \(\left[ { – 2020\,;\,2020} \right]\) để hàm số \(y = {\log _5}\left( { – {x^2} + 2mx + m + 1} \right)\) xác định với mọi \(x \in \left( {1;2} \right)\)?

A. \(4040\).

B. \(2021\).

C. \(2019\).

D. \(2020\).

Lời giải

Cách 1: Hàm số xác định với mọi \(x \in \left( {1;2} \right)\) khi \( – {x^2} + 2mx + m + 1 > 0\), \(\forall x \in \left( {1;2} \right)\)

\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} – 2mx – m – 1 < 0\), \(\forall x \in \left( {1;2} \right)\)

\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm thỏa \({x_1} \le 1 < 2 \le {x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) \le 0\\f\left( 2 \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 3m \le 0\\3 – 5m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \frac{3}{5}\).

Cách 2: \( – {x^2} + 2mx + m + 1 > 0\), \(\forall x \in \left( {1;2} \right)\)

\( \Leftrightarrow m > \frac{{{x^2} – 1}}{{2x + 1}} = g\left( x \right)\)\(\left( * \right)\) ,\(\forall x \in \left( {1;2} \right)\)

Ta có :\(g’\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 2x + 2}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0\) , \(\forall x \in \left( {1;2} \right)\).

Suy ra hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1\,;\,2} \right)\).

Do đó để \(\left( * \right)\) xảy ra thì :\(m \ge g\left( 2 \right) = \frac{3}{5}\) .

Vì \(m \in \left[ { – 2020\,;\,2020} \right]\) và \(m\) là số nguyên nên \(m \in \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;…\,;\,2020} \right\}\).

Vậy có \(2020\) số nguyên \(m\) để hàm số \(y = {\log _5}\left( { – {x^2} + 2mx + m + 1} \right)\) xác định với mọi \(x \in \left( {1;2} \right)\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit