Trong không gian với hệ tọa độ \(O{\kern 1pt} xyz\), cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(\frac{{x – 12}}{4} = \frac{{y – 9}}{3} = \frac{{z – 1}}{1}\) và mặt phẳng \((P):3x + 5y – z – 2 = 0\). Gọi \(d’\) là hình chiếu vuông góc của \(d\) trên mặt phẳng \((P)\). Khi đó \(d’\) đi qua điểm nào sau đây?

Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ \(O{\kern 1pt} xyz\), cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(\frac{{x – 12}}{4} = \frac{{y – 9}}{3} = \frac{{z – 1}}{1}\) và mặt phẳng \((P):3x + 5y – z – 2 = 0\). Gọi \(d’\) là hình chiếu vuông góc của \(d\) trên mặt phẳng \((P)\). Khi đó \(d’\) đi qua điểm nào sau đây?

A. \(A(62; – 25;63).\)

B. \(B(62; – 25;59)\).

C. \(C( – 62;25; – 59)\).

D. \(D(62; – 25; – 63)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Mặt phẳng \((P):3x + 5y – z – 2 = 0\) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = (3;5; – 1)\)

Gọi \((Q)\) là mặt phẳng chứa \(d\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\)

\(d\) đi qua \(A\,(12;9;1)\) và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = (4;3;1)\)

\((Q)\) qua \(A\) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_p}} } \right] = ( – 8;7;11)\)

\((Q):8x – 7y – 11z – 22 = 0\)

\(d’\) là giao tuyến của \((Q)\) và \((P)\)

Tìm 1 điểm thuộc \(d’\) bằng cách cho \(y = 0\)

Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x – z = 2\\8x – 11z = 22\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\z = – 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M(0;0; – 2) \in d’\)

\(d’\) đi qua \(M(0;0; – 2)\) và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{d’}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = (62; – 25;61)\)

Vậy \(d’:\left\{ \begin{array}{l}x = 62t\\y = – 25t\\z = – 2 + 61t\end{array} \right.\) đi qua điểm \(B(62; – 25;59)\).

=======