Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm\(A\left( {1; – 2;3} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + z + 4 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 2}}{{ – 2}}\). Đường thẳng\(\Delta \) cắt \(d\)và \(\left( P \right)\)lần lượt tại \(M,N\)sao cho \(\overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AM} \)có phương trình là

Câu hỏi:
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm\(A\left( {1; – 2;3} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + z + 4 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 2}}{{ – 2}}\). Đường thẳng\(\Delta \) cắt \(d\)và \(\left( P \right)\)lần lượt tại \(M,N\)sao cho \(\overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AM} \)có phương trình là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 – 3t\\y = – 2\\z = – 3 + t\end{array} \right.\).

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 – 3t\\y = 2 + 2t\\z = – 3 + t\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 – 3t\\y = – 2 + 2t\\z = – 3 + t\end{array} \right.\).

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 – 3t\\y = – 2\\z = 3 + t\end{array} \right.\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = – 1 + t\\z = 2 – 2t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,t \in \mathbb{R}\).

Do \(M = \Delta \cap d\)nên \(M \in d \Rightarrow M\left( {1 + 3t\,; – 1 + t\,;2 – 2t} \right)\).

Theo giải thiết \(\overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AM} \)nên \(M\)là trung điểm của \(AN\)và \(A \in \Delta \). Suy ra \(N\left( {1 + 6t\,;2t\,;1 – 4t} \right)\).

Mặt khác \(N = \Delta \cap \left( P \right)\)nên \(N \in \left( P \right)\)hay \(1 + 6t + 4t + 1 – 4t + 4 = 0 \Leftrightarrow 6t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = – 1\).

Suy ra: \(M\left( { – 2; – 2;4} \right)\), \(N\left( { – 5; – 2;5} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng\(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {1; – 2;3} \right)\)và có VTCP \(\overrightarrow u = \overrightarrow {MN} = \left( { – 3;0;1} \right)\)là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 – 3t\\y = – 2\\z = 3 + t\end{array} \right.\).

.

=======