Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 3\) và \(\int\limits_0^5 {f\left( x \right)} dx = 6\). Tính tích phân \(I = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( {\left| {3x – 2} \right|} \right)dx} \).

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 3\) và \(\int\limits_0^5 {f\left( x \right)} dx = 6\). Tính tích phân \(I = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( {\left| {3x – 2} \right|} \right)dx} \).

A. \(I = 3\).

B. \(I = – 2\).

C. \(I = 4\).

D. \(I = 9\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( {\left| {3x – 2} \right|} \right)dx = \int\limits_{ – 1}^{\frac{2}{3}} {f\left( { – 3x + 2} \right)dx + \int\limits_{\frac{2}{3}}^1 {f\left( {3x – 2} \right)dx = {I_1} + {I_2}} } } \)

\({I_1} = \int\limits_{ – 1}^{\frac{2}{3}} {f\left( { – 3x + 2} \right)dx} = – \frac{1}{3}\int\limits_{ – 1}^{\frac{2}{3}} {f\left( { – 3x + 2} \right)d\left( { – 3x + 2} \right)} \)

Đặt \(t = – 3x + 2\) suy ra \(x = – 1 \Rightarrow t = 5;x = \frac{2}{3} \Rightarrow t = 0\). Do đó \({I_1} = \frac{1}{3}\int\limits_0^5 {f\left( t \right)} dt = 2\).

\({I_2} = \int\limits_{\frac{2}{3}}^1 {f\left( {3x – 2} \right)dx = } \frac{1}{3}\int\limits_{\frac{2}{3}}^1 {f\left( {3x – 2} \right)d\left( {3x – 2} \right)} \)

Đặt \(t = 3x – 2\) suy ra \(x = 1 \Rightarrow t = 1;x = \frac{2}{3} \Rightarrow t = 0\). Do đó \({I_1} = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)} dt = 1\).

Vậy \(I = {I_1} + {I_2} = 3\)

=======