Đề bài: Chứng minh rằng:$\frac{1}{2}.\frac{3}{4}…\frac{2n-1}{2n}\leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}},\forall n\in N^{*}$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng:$\frac{1}{2}.\frac{3}{4}…\frac{2n-1}{2n}\leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}},\forall n\in N^{*}$
Lời giải

$\forall k\in N^{*}$,ta có:
$12k^{2}+(k-1)\geq 12k^{2}$
$\Leftrightarrow (4k-1)(3k+1)\geq 12k^{2}$
$\Leftrightarrow \frac{4k-1}{4k^{2}}\geq \frac{3}{3k+1}\Leftrightarrow 1-\frac{4k-1}{4k^{2}}\leq 1-\frac{3}{3k+1}$
$\Leftrightarrow (\frac{2k-1}{2k})^{2}\leq \frac{3k-2}{3k+1}$
$\Leftrightarrow \frac{2k-1}{2k} \leq \sqrt{\frac{3k-2}{3k+1}}$
Cho $k$ chạy từ $1 \to n$ rồi nhân vế với vế,ta được:
$\frac{1}{2}.\frac{3}{4}…\frac{2n-1}{2n}\leq \sqrt{\frac{1}{4}}.\sqrt{\frac{4}{7}}.\sqrt{\frac{7}{10}}…\sqrt{\frac{3n-2}{3n+1}}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}$
$\Rightarrow$ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác