Đề bài: Cho $\triangle  ABC$ có $3$ góc nhọn.Chứng minh rằng:$\tan A+\tan B+\tan C \geq 3 \sqrt {3}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $\triangle  ABC$ có $3$ góc nhọn.Chứng minh rằng:$\tan A+\tan B+\tan C \geq 3 \sqrt {3}$
Lời giải

Xét $f(x)=\tan x,x \in (0,\frac{\pi}{2})$
$f'(x)=\frac{1}{\cos^{2}x}$
$f”(x)=\frac{2\sin x}{\cos^{3}x} >0$
$\Rightarrow f$ là hàm số lõm trên $(0,\frac{\pi}{2})$
Theo BĐT Jensen:
$f(A)+f(B)+f(C) \geq 3f(\frac{A+B+C}{3})$
$\Rightarrow \tan A+\tan B+\tan C \geq 3\tan(\frac{A+B+C}{3})=3 \sqrt {3}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \hat{A} = \hat{B} = \hat{C}\Leftrightarrow\triangle  ABC$ đều.
$\Rightarrow $ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Ứng dụng hàm số để chứng minh Bất đẳng thức