Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $x\in R$, ta có:     $(\frac{12}{5})^x+(\frac{15}{4})^x+(\frac{20}{3})^x\geq 3^x+4^x+5^x$. Khi nào đẳng thức xảy ra?

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng với mọi $x\in R$, ta có:     $(\frac{12}{5})^x+(\frac{15}{4})^x+(\frac{20}{3})^x\geq 3^x+4^x+5^x$. Khi nào đẳng thức xảy ra?
Lời giải

Sử dụng bất đẳng thức Côsi, ta lần lượt có:
   $
\displaystyle (\frac{12}{5})^x+(\frac{15}{4})^x\geq 2\sqrt{(\frac{12}{5})^x.(\frac{15}{4})^x}=2.3^x.             (1)$
   $
\displaystyle (\frac{12}{5})^x+(\frac{20}{3})^x\geq 2\sqrt{(\frac{12}{5})^x.(\frac{20}{3})^x}=2.4^x         (2)$
   $
\displaystyle (\frac{20}{3})^x+(\frac{15}{4})^x\geq 2\sqrt{(\frac{20}{3})^x.(\frac{15}{4})^x}=2.5^x         (3)$
 Cộng theo vế $(1),(2),(3)$ ta được:
   $
\displaystyle (\frac{12}{5})^x+(\frac{15}{4})^x+(\frac{20}{3})^x\geq 3^x+4^x+5^x$, đpcm.
 Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi:$
\displaystyle (\frac{12}{5})^x=(\frac{15}{4})^x=(\frac{20}{3})^x\Leftrightarrow x=0$.  

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi