Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với\(a,\,b,\,c,\,d \in \mathbb{R}\). Biết hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + f”’\left( x \right)\) có ba giá trị cực trị là \( – 14\); 4; 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 24}}\) và \(y = 1\) bằng

Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với\(a,\,b,\,c,\,d \in \mathbb{R}\). Biết hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + f”’\left( x \right)\) có ba giá trị cực trị là \( – 14\); 4; 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 24}}\) và \(y = 1\) bằng

A. \(2\ln 3\).

B. \(\ln 10\).

C. \(\ln 3\).

D. \(\ln 5\).

GY:

Xét hàm số: \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + f”’\left( x \right)\).

Ta có \(g’\left( x \right) = f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + f”'(x) + f””(x) = f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + f”’\left( x \right) + 24\)

Vì \(f””\left( x \right) = 24\). Gọi \({x_1};\,\,{x_2};\,\,{x_3}\) là các điểm cực trị của hàm số thì ta có \(g’\left( {{x_1}} \right) = g’\left( {{x_2}} \right) = g’\left( {{x_3}} \right) = 0\) và có thể giả sử \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( {{x_1}} \right) = – 14\\g\left( {{x_2}} \right) = 4\\g\left( {{x_3}} \right) = 6\end{array} \right.\)

Xét phương trình:

\(\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 24}} = 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + 24 \Leftrightarrow f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + f”’\left( x \right) + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1}\\x = {x_2}\\x = {x_3}\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng cần tính là

\(S = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_3}} {\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 24}} – 1} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 24}} – 1} \right){\rm{d}}x} } \right| + \left| {\int\limits_{{x_2}}^{{x_{3 = }}} {\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 24}} – 1} \right){\rm{d}}x} } \right|\)\( = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\frac{{g’\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 24}}} \right){\rm{d}}x} } \right| + \left| {\int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left( {\frac{{g’\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 24}}} \right){\rm{d}}x} } \right|\)\( = \left| {\ln \left| {g\left( x \right) + 24} \right|\left| {_{{x_1}}^{{x_2}}} \right.} \right| + \left| {\ln \left| {g\left( x \right) + 24} \right|\left| {_{{x_2}}^{{x_3}}} \right.} \right|\)\( = \left| {\ln \left| {g\left( {{x_2}} \right) + 24} \right| – \ln \left| {g\left( {{x_1}} \right) + 24} \right|} \right| + \left| {\ln \left| {g\left( {{x_3}} \right) + 24} \right| – \ln \left| {g\left( {{x_2}} \right) + 24} \right|} \right|\)

\( = \left| {\ln \left| {4 + 24} \right| – \ln \left| { – 14 + 24} \right|} \right| + \left| {\ln \left| {6 + 24} \right| – \ln \left| {4 + 24} \right|} \right| = \ln 3\).

=======