Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{4} = \frac{{z – 3}}{1}\). Hình chiếu vuông góc của \(d\) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x – y + 2z + 1 = 0\) là đường thẳng có phương trình

Câu hỏi: Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{4} = \frac{{z – 3}}{1}\). Hình chiếu vuông góc của \(d\) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x – y + 2z + 1 = 0\) là đường thẳng có phương trình

A. \(\frac{x}{2} = \frac{{y – 3}}{4} = \frac{{z – 1}}{1}\).

B. \(\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y – 1}}{4} = \frac{{z – 5}}{1}\).

C. \(\frac{x}{2} = \frac{{y – 3}}{{ – 4}} = \frac{{z – 1}}{{ – 3}}\).

D. \(\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 4}} = \frac{{z – 5}}{{ – 3}}\).

GY:

Gọi đường thẳng \(a\) là hình chiếu vuông góc của \(d\) trên \(\left( P \right)\)

\(d\) có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2\,;\,4\,;\,1} \right)\) và \(d\) đi qua \(M\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1\,;\, – 1\,;\,2} \right)\)

Có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u .\overrightarrow n = 0\\M \notin \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\,{\rm{//}}\left( P \right) \Rightarrow a\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {2\,;\,4\,;\,1} \right)\) làm véctơ chỉ phương

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(\left( P \right)\)

\( \Rightarrow MH:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 – t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) mà \(H \in \left( P \right) \Rightarrow H\left( {0\,;\,3\,;\,1} \right)\)

\( \Rightarrow a\) đi qua \(H\left( {0\,;\,3\,;\,1} \right)\)

\( \Rightarrow a:\frac{x}{2} = \frac{{y – 3}}{4} = \frac{{z – 1}}{1}\).

=======