Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{8^x} – {2^{{x^3} + 2}}} \right).\left[ {{{\log }_{\sqrt 3 }}\left( {2x + 21} \right) – 4} \right] \ge 0?\)

Câu hỏi:
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{8^x} – {2^{{x^3} + 2}}} \right).\left[ {{{\log }_{\sqrt 3 }}\left( {2x + 21} \right) – 4} \right] \ge 0?\)

A. \(10\).

B. \(8\).

C. \(6\).

D. \(7\).

GY:

Điều kiện: \(x > – \frac{{21}}{2}\)\(\left( * \right)\).

Trường hợp 1:

\(\left\{ \begin{array}{l}{8^x} – {2^{{x^3} + 2}} \ge 0\\{\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x + 21} \right) – 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{3x}} \ge {2^{{x^3} + 2}}\\{\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x + 21} \right) \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – {x^3} + 3x – 2 \ge 0\\2x + 21 \ge 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le – 2\\x = 1\end{array} \right.\\x \ge – 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 6 \le x \le – 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện \(\left( * \right)\) ta được \(x \in \left[ { – 6; – 2} \right] \cup \left\{ 1 \right\}\).

Trường hợp này ta được \(6\) giá trị nguyên của \(x\) thỏa yêu cầu.

Trường hợp 2:

\(\left\{ \begin{array}{l}{8^x} – {2^{{x^3} + 2}} \le 0\\{\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x + 21} \right) – 4 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{3x}} \le {2^{{x^3} + 2}}\\{\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x + 21} \right) \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – {x^3} + 3x – 2 \le 0\\2x + 21 \le 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge – 2\\x \le – 6\end{array} \right.\).

Trường hợp này không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn.

Vậy có \(6\) giá trị nguyên của \(x\)thỏa ycbt gồm \(\left\{ { – 6; – 5; – 4; – 3; – 2;1} \right\}\).

=======