Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) bất phương trình \(\left( {{e^x} – x + 1} \right)\left( {{3^x} – y} \right) < 0\) có nghiệm nguyên dương \(x\), đồng thời số nghiệm đó không quá \(5\)? 

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) bất phương trình \(\left( {{e^x} – x + 1} \right)\left( {{3^x} – y} \right) < 0\) có nghiệm nguyên dương \(x\), đồng thời số nghiệm đó không quá \(5\)? 

A. \(726\). 

B. \(729\). 

C. \(728\). 

D. \(243\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} – x + 1\). Ta có \(f’\left( x \right) = {e^x} – 1\); \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Bảng biến thiên

Do đó \(f\left( x \right) > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Bất phương trình đã cho tương đương \({3^x} – y < 0\) \( \Leftrightarrow {3^x} < y\) \( \Leftrightarrow x < {\log _3}y\).

Vì \(x\) nguyên dương nên \(1 \le x < {\log _3}y\). 

Suy ra, với mỗi \(y\) bất phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương \(x\) và số nghiệm đó không quá \(5\) khi và chỉ khi \(1 < {\log _3}y \le 6\) \( \Leftrightarrow 3 < y \le {3^6}\).

Vì \(y\) nguyên dương nên \(y \in \left\{ {4,5,6,…,{3^6}} \right\}\) \( \Rightarrow \) Có \({3^6} – 3 = 726\) giá trị \(y\) thỏa mãn.