Cho hình chóp \(S.ABC\)có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(AB = a\), góc \(\widehat {ACB} = 60^\circ \) cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SB\) tạo với mặt đáy một góc bằng \(45^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABC\)là:

DẠNG TOÁN 43 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABC\)có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(AB = a\), góc \(\widehat {ACB} = 60^\circ \) cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SB\) tạo với mặt đáy một góc bằng \(45^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABC\)là:

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}\)

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

+ \(\Delta ABC\) vuông tại B nên

\(BC = AB.\cot \widehat {{\rm{A}}CB} = a.\cot 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}a.\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}\)

+ Ta có AB là hình chiếu vuông góc của SB trên \(\left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {SB,(ABC)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA} = 45^\circ \)

\(\Delta SAB\) vuông tại A nên \(SA = AB.\tan \widehat {SBA} = AB.\tan 45^\circ = a\)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}\).