Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số\(y = f(x) = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị \(\left( C \right),\) Biết\(f( – 1) = 0\). Tiếp tuyến \(d\) tại điểm có hoành độ \(x = – 1\) của \(\left( C \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, Gọi \({S_1};{S_2}\) là diện tích hình phẳng. Tính tỷ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\)
A. \(\frac{1}{5}\)
B. \(\frac{1}{{14}}\)
C. \(\frac{1}{{28}}\)
D. \(\frac{2}{{25}}\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Từ đồ thị \(\left( C \right)\)nhận thấy \(\left\{ {a > 0;b < 0;c > 0} \right\}\)
Ta có: \(f( – 1) = 0\) suy ra: \(a + b + c = 0\); Gọi \(A\left( { – 1;0} \right)\)
Phương trình tiếp tuyến tại \(A\left( { – 1;0} \right)\)là \(\left( d \right):y = y’\left( 1 \right)\left( {x + 1} \right) = \left( { – 4a – 2b} \right)\left( {x + 1} \right)\)
Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến \(\left( d \right)\) và đồ thị \(\left( C \right)\): \(\left( { – 4a – 2b} \right)\left( {x + 1} \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\left( * \right)\)
Mà \(x = 0,x = 2\) là nghiệm củasuy ra \(\left\{ \begin{array}{l} – 4a – 2b = c\\ – 12a – 6b = 16a + 4b + c\end{array} \right.\).
{Hệ tạo bởivàvô số nghiệm}
Từvàta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = – a – b}\\{ – 4a – 2b = – a – b}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = – a – b}\\{b = – 3a}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 2a}\\{b = – 3a}\end{array}} \right.\)
Ta có :
\({S_1} = \int\limits_{ – 1}^0 {\left( {a{x^4} + b{x^2} + c – \left( { – 4a – 2b} \right)\left( {x + 1} \right)} \right)} dx = \int\limits_{ – 1}^0 {\left( {a{x^4} – 3a{x^2} + 2a – 2a\left( {x + 1} \right)} \right)} dx\)
\( = a\int\limits_{ – 1}^0 {\left( {{x^4} – 3{x^2} – 2x} \right)} dx = \frac{a}{5}\)
\({S_2} = \int\limits_0^2 {\left( {\left( { – 4a – 2b} \right)\left( {x + 1} \right) – \left( {a{x^4} + b{x^2} + c} \right)} \right)} dx = a\int\limits_0^2 {\left( { – {x^4} + 3{x^2} + 2x} \right)} dx = \frac{{28a}}{5}\)
Vậy: \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{1}{{28}}\)
Để lại phản hồi