Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD. A'B'C'D'$ biết bán kính hình cầu nội tiếp trong tứ diện $ACB'D'$ bằng $r$a) Tính diện tích toàn phần cửa tứ diện $ACB'D'$ theo $r$b) Tính thể tích khối lập phương $ABCD. A'B'C'D'$ theo $a$

Lời giải

a) Gọi $a$ là cạnh hình lập phương và $I$ là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện
$\Rightarrow  I$ là giao điểm của hai đường chéo $A’C$ và $B’D$
Chọn hệ trục tọa độ như sau:
– Gốc $O \equiv  A$
– Trục $Ox$ đi qua $AB$
– Trục $Oy$ đi qua $AD$
– Trục $Oz$ đi qua $AA’$

Khi đó: $A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), B'(a;0;a), D'(0;a;a)$
Mặt phẳng $(ACD’)$ có cặp vecto chỉ phương là:
$\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$ hay $(1;1;0); \overrightarrow{AD}=(0;a;a) $ hay $(0;1;1)$
$\Rightarrow  $ vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD’}  ]=(1;-1;1) $
$\Rightarrow  $ Phương trình tổng quát $(ACD’):x-y+z=0$
$I$ là trung điểm $A’C\Rightarrow  I(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{2}   )$
Bán kính $r$ là khoảng cách từ $I$ đến $(ACD’)$
$\Rightarrow  r=d(I,(ACD’))=\frac{|\frac{a}{2}-\frac{a}{2}+\frac{a}{2}   |}{\sqrt{3} } =\frac{a}{2\sqrt{3} } \Leftrightarrow  a=2\sqrt{3}r $
Các mặt của tứ diện là bốn tam giác đều bằng nhau có cạnh bằng $a\sqrt{2} $
$\Rightarrow  S_{tp}=4S_{ACB’}=\frac{4(a\sqrt{2} )^2.\sqrt{3} }{4} =(2\sqrt{6}r )^2.\sqrt{3}$      (đvdt)

b) Thể tích hình lập phương $V=a^3=(2\sqrt{3}r )^3=24r^3\sqrt{3}$     (đvdt)