Đề bài: Cho hình nón đỉnh $S$ đáy là hình tròn $(O;R)$. Một mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với $SO$ tại điểm $H$ thuộc đoạn $SO$ và cất hình nón theo đường tròn $(C)$. Đặt $OH=x (0

Lời giải

Gọi $r$ là bán kính đáy của $(C), V$ là thể tích hình nón đỉnh $O$ đáy là hình tròn $(C)$, ta có: $\frac{r}{R}=\frac{SH}{SO}=\frac{h-x}{h} \Rightarrow r=\frac{(h-x)R}{h}$
   $\Rightarrow V=\frac{1}{3}\pi r^2.x=\frac{1}{3} \pi.\frac{R^2}{h^2}(h-x)^2 x=\frac{\pi R^2}{6h^2}(h-x)^2.2x$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho $3$ số $2x,h-x,h-x$ ta được
    $2h=h-x+h-x+2x \geq 3\sqrt[3]{(h-x)^2.2x}$
Dấu “=” xảy ra khi $x=\frac{h}{3}$
Khi đó $V=\frac{\pi R^2}{6h^2}(h-x)^2 \leq \frac{\pi R^2}{6h^2}.\frac{8h^3}{27}=\frac{4\pi R^2h}{81}$
Vậy khi $x=\frac{h}{3}$ thì thể tích $V$ đạt giá trị lớn nhất ($\max V=\frac{4\pi R^2h}{81}$)
Nhận xét: Để tìm giá trị lớn nhất của $V$ ta có thể khảo sát hàm số bậc ba $V=\frac{\pi R^2}{6h^2}(2h^2x-4hx^2+2x^3)$ thay vì dùng bất đẳng thức như trên.