Đề bài: Trong mặt phẳng $(P)$ cho hình vuông $ABCD$. Trên đường thẳng $Ax$ vuông góc với $(P)$ lấy một điểm $S$ bất kì. Dựng mặt phẳng $(Q)$ qua $A$ và vuông góc với $SC$. Mặt phẳng $(Q)$ cắt $SB,SC,SD$ lần lượt tại $B',C',D'$. Chứng minh rằng các điểm $A,B,C,D,B',C',D'$ cùng nằm trên một mặt cầu cố định.

Lời giải

Vì $(Q)\bot SC\Rightarrow SC\bot AC’  (1)$. Do $SA\bot(P)\Rightarrow SA\bot CB$.
Ta lại có $CB\bot AB\Rightarrow CB\bot (SAB)\Rightarrow CB\bot AB’$.
Do $(Q)\bot SC\Rightarrow SC\bot AB’$. Từ đó $AB’\bot (SBC)\Rightarrow AB’\bot SB  (2)$
Lý luận tương tự có $AD’\bot SD  (3)$.
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra nếu kẻ $AB’, AC’,AD’$ lần lượt vuông góc với $SB,SC,SD$ thì mặt phẳng $(Q)$ chính là mặt phẳng $(AB’C’D’)$.

Trong $(ABCD)$ ta có:
$\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=90^0  (4)$
Theo trên $AB’\bot B’C\Rightarrow \widehat{AB’C}=90^0  (5)$
Tương tự lại có $\widehat{AC’C}=\widehat{AD’C}=90^0 (6)$
từ  $ (4),(5),(6)$ suy ra: $A,B,C,D,B’,C’,D’$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính $AC\Rightarrow$ đpcm.