Đề bài: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$$a)$ Hãy dựng mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ song song với đường thẳng $BC$ và vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$$b)$ Giả sử góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt đáy là $\alpha$.Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$.Tính $SM$ theo $a$ và $\alpha$

Lời giải

a)  Theo đinh nghĩa của hình chóp đều, dễ thấy $AM,SM$ cung vuông góc với $BC$.Vậy $BC\bot mp(SAM)$.Trong tam giác $SAM$, kẻ đường cao $AN$.Như vậy $AN\bot SM$ và $AN\bot BC$ nên $AN$ vuông góc với mặt phẳng $SBC$
Vì $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$ nên $(P)$ phải chứa đường thẳng $AN$
Mặt khác $(P)$ và $mp(ABC)$ phải có giao tuyến qua $A$, nhưng $(P)//BC$ nên giao tuyến qua $A$ phải song song $BC$
Như vậy ta dựng được $(P)$ theo cách sau : Gọi $Ax$ là đường thẳng song song $BC$.Gọi $N$ là chân đường cao trong tam giác $SAM$.Khi đó,$(P)$ chính là mặt phẳng $(Ax,AN)$
$b)$ Ta có : $AN\bot BC$ nên $AN\bot Ax,AM\bot BC$ nên $AM\bot Ax$.Như vậy $\widehat{NAM} $ là góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt đáy $(ABC)$ tức là : $\widehat{NAM}=\alpha $.Trong tam giác $AMN$ vuông tại $N$ ta có :
$AN=AMcos\alpha=\frac{a\sqrt{3} }{2} cos\alpha$
Trong tam giác $SHM $ ta có :
$\widehat{HSM}=\widehat{NAM}  =\alpha;HM=\frac{a\sqrt{3} }{6} \Rightarrow  SM=\frac{HM}{sin\alpha} =\frac{a\sqrt{3} }{6sin\alpha} $