Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$.Gọi $A_1,B_1,C_1,D_1$ là các điểm thỏa mãn :$\overrightarrow {A_1A}=-2\overrightarrow {A_1B}, \overrightarrow {B_1B}=-2\overrightarrow {B_1C}    $$\overrightarrow {C_1C}=-2\overrightarrow {C_1D}  , \overrightarrow {D_1D}=-2\overrightarrow {D_1A}  $Đặt $\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {i},\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {j} ,\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {k}     $.Hãy biểu diễn các véctơ $\overrightarrow {A_1B_1},\overrightarrow {A_1C_1},\overrightarrow {A_1D_1}   $ theo ba véctơ $\overrightarrow {i},\overrightarrow {j},\overrightarrow {k}   $

Lời giải

Ta lần lượt có :
$\overrightarrow {A_1A}=-2\overrightarrow {A_1B}=-2(\overrightarrow {A_1A}+\overrightarrow {AB}  )\Leftrightarrow  \overrightarrow {A_1A}=-\frac{2}{3}    \overrightarrow {AB} =-\frac{2}{3} \overrightarrow {i} $
$\overrightarrow {B_1B}=-2\overrightarrow {B_1C}\Leftrightarrow  \overrightarrow {B_1A}+\overrightarrow {AB} =-2(\overrightarrow {B_1A}+\overrightarrow {AC}  )   $
$\Leftrightarrow  \overrightarrow {B_1A}=-\frac{1}{3}  (\overrightarrow {AB} +2\overrightarrow {AC} )=-\frac{1}{3} (\overrightarrow {i}+2\overrightarrow {j}  )$
$\overrightarrow {C_1C}=-2\overrightarrow {C_1D}\Leftrightarrow  \overrightarrow {C_1A}+\overrightarrow {AC}=-2(\overrightarrow {C_1A}+\overrightarrow {AD}  )    $
$\Leftrightarrow  \overrightarrow {C_1A}=-\frac{1}{3}  (\overrightarrow {AC}+2\overrightarrow {AD}  )=-\frac{1}{3} (\overrightarrow {j}+2\overrightarrow {k}  )$
$-2\overrightarrow {D_1A}=\overrightarrow {D_1D}=\overrightarrow {D_1A}+\overrightarrow {AD}\Leftrightarrow  \overrightarrow {D_1A}=-\frac{1}{3}      \overrightarrow {AD} =-\frac{1}{3} \overrightarrow {k} $
Từ đó ta lần lượt có :
$\overrightarrow {A_1B_1}=\overrightarrow {A_1A}-\overrightarrow {B_1A}=-\frac{2}{3}\overrightarrow {i}+\frac{1}{3}      (\overrightarrow {i}+2\overrightarrow {j}  )=-\frac{1}{3} \overrightarrow {i}+\frac{2}{3}\overrightarrow {j}   $
$\overrightarrow {A_1C_1}=\overrightarrow {A_1A}-\overrightarrow {C_1A}=-\frac{2}{3}\overrightarrow {i}+\frac{1}{3}      (\overrightarrow {j}+2\overrightarrow {k}  )=-\frac{2}{3} \overrightarrow {i}+\frac{2}{3}\overrightarrow {j} +\frac{2}{3}\overrightarrow {k} $
$\overrightarrow {A_1D_1}=\overrightarrow {A_1A}-\overrightarrow {D_1A}=-\frac{2}{3}\overrightarrow {i}+\frac{1}{3}  \overrightarrow {k} $