Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn $AB=3a,AD=CD=a$. Mặt bên $(SAB) $ là tam giác cân đỉnh $S$ với $SA=2a,\alpha$ là mặt phẳng di động song song với $(SAB)$ cắt các cạnh $AD,BC,SC,SD$ theo thứ tự tại $M,N,P,Q$$a.$ Chứng minh $MNPQ$ là hình thang cân$b.$ Đặt $x=AM$ với $0

Lời giải

$a.$ Ta lần lượt có :
$\begin{cases}\alpha//(SAB)\\MN=\alpha\cap (ABCD)\\AB=(SAB) \end{cases} \Rightarrow  MN//AB$
Lập luận tương tự ta cũng có :
$NP//BS,PQ//CD,QM//SA$
Nhận xét rằng :
$MN//PQ$ bởi $AB//CD$
$\frac{MQ}{SA}=\frac{DQ}{DS}=\frac{CP}{CS}=\frac{NP}{SB}    \Rightarrow  MQ=NP$
Vậy thiết diện $MNPQ$ là hình thang cân
$b.$ Để $MNPQ$ ngoại tiếp được một đường tròn điều kiện là :
$MN+PQ=MQ+NP\Leftrightarrow  MN+PQ=2MQ        (1)$
Trong $\Delta SAD$ ta có :
$\frac{MQ}{SA}=\frac{DM}{DA}  =\frac{a-x}{a} \Rightarrow  MQ=2(a-x)        (2)$
Trong $\Delta SCD$ ta có :
$\frac{PQ}{CD}=\frac{SQ}{SD}  =\frac{AM}{AD}=\frac{x}{a}  \Rightarrow  PQ=x      (3)$
Giả sử $AB$ cắt $CD$ tại $O$ và $OD=y$  ta có :
$\frac{OD}{OA}=\frac{CD}{AB}=\frac{a}{3a}\Rightarrow  3y=a+y\Leftrightarrow  y=\frac{a}{2}    $
$\frac{MN}{AB}=\frac{OM}{OA}=\frac{OD+DM}{OD+DA}=\frac{\frac{a}{2}+a-x }{\frac{a}{2}+a }    \Rightarrow  MN=3a-2x           (4)$
Thay $(2),(3),(4)$ vào $(1)$ ta được :
$3a-2x+x=4(a-x)\Leftrightarrow  x=\frac{a}{3} $
Vậy với $x=\frac{a}{3} $ thì $MNPQ$ ngoại tiếp được  một đường tròn
Khi đó, xét hình thang cân $MNPQ$ hạ đường cao $QH$ ta có :
$QH=\sqrt{MQ^2-MH^2}=\sqrt{MQ^2-(\frac{MN-PQ}{2} )^2}=\frac{a\sqrt{7} }{3}   $
suy ra bán kính đường tròn nội tiếp $MNPQ$ là $r=\frac{1}{2} QH=\frac{a\sqrt{7} }{6} $
Câu $c,$ và câu $d.$ bạn đọc tự giải