Đề: Cho $a,b,c$ là các hằng số thỏa mãn $\frac{a}{2010}+\frac{b}{2009}+\frac{c}{2008} = 0$. Chứng minh phương trình $ax^2 + bx + c=0$ có nghiệm trên $(0;1).$  

Đề bài: Cho $a,b,c$ là các hằng số thỏa mãn $\frac{a}{2010}+\frac{b}{2009}+\frac{c}{2008} = 0$. Chứng minh phương trình $ax^2 + bx + c=0$ có nghiệm trên $(0;1).$  

Lời giải

Xét $f(x) = ax^{2009} + bx^{2008}+cx^{2007}, x \in  R$
$\Rightarrow F(x) = \int\limits_{0}^{x} f(t)dt = \frac{ax^{2010}}{2010} + \frac{bx^{2009}}{2009}+\frac{cx^{2008}}{2008}$ khả vi trên $R$ và thỏa mãn $F(0) = F(1) = 0$
Theo định lí Lagrange tồn tại $x_0 \in  (0;1)$ sao cho $F'(x_0) = 0 \Leftrightarrow  f(x_0) = 0$
$\Leftrightarrow  x^{2007}_0 (ax^2_0 + bx_0 + c) = 0 \Leftrightarrow  ax^2_0 + bx_0 + c = 0$
$\Leftrightarrow  x = x_0 \in  (0;1) $ là nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0.$