Đề bài: Cho hàm số : $y=\sqrt{\sin x } + \sqrt{\cos x }$. Tìm $max y , min y.$
Lời giải
Tập xác định của hàm số là :
$\left\{ \begin{array}{l}
0 \le \sin {\rm{x }} \le 1\\
0 \le \cos x \le 1 (\alpha )
\end{array} \right.$
Với $x \in (\alpha )$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}
0 \le \sqrt {\cos x} {\rm{ }} \le 1\\
0 \le \sqrt {\sin x} \le 1
\end{array} \right.$
nên $\sqrt{\cos x } \geq \cos ^2 x . $ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos x = 1
\end{array} \right.$
$\sqrt{\sin x } \geq \sin ^2 x . $ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin x = 1
\end{array} \right.$
Vậy $y=\sqrt{\sin x } + \sqrt{\cos x } \geq \sin ^2 x +\cos ^2x =1, \forall x .$ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$\left[ \begin{array}{l}
\sin x = 1\\
\cos x = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \\
x = 2k\pi
\end{array} \right.$
Do đó $Min y =1$ đạt được khi $\left[ \begin{array}{l}
x = 2k\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi
\end{array} \right.$
Mặt khác với $x \in (\alpha ),$ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki với :
$a_1 = 1 , a_2 =1$
$b_1 = \sqrt{\sin x }, b_2 = \sqrt{\cos x } $ ta được:
$y=1.\sqrt{\sin x }+1.\sqrt{\cos x } \leq \sqrt{1^2+1^2} \sqrt{\sin x +\cos x } = \sqrt{2 \sqrt{2} \cos \left ( x – \frac{\pi }{ 4} \right ) } \leq \sqrt{2 \sqrt{2} } $
$y \leq \sqrt[4]{8} $ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{ \sqrt{\cos x } }{ 1} = \frac{\sqrt{\sin x } }{1 } $ vì $x \in (\alpha )$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\sin x \geq 0 \\ \sin x = \cos x \end{cases}$
$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{ 4} +2k\pi$
Vậy $max y = \sqrt[4]{8} $ đạt được khi $x = \frac{ \pi}{ 4} +2k\pi$
Trả lời