Đề: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1; – 2;3} \right)\) và đường thẳng d có phương trình: \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ – 1}}\). Tính đường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d là:

\(2\left( {x – 1} \right) + 1\left( {y + 2} \right) – 1\left( {z – 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y – z + 3 = 0\)

Gọi H là hình chiếu của A lên (P). Khi đó : \(H = d \cap \left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  – 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z =  – 3 – t}\\{2x + y – z + 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t =  – 1}\\{x =  – 3}\\{y = 1}\\{z =  – 2}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow H\left( { – 3;1; – 2} \right)\)

\(R = AH = \sqrt {{{\left( { – 3 – 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2} \right)}^2} + {{\left( { – 2 – 3} \right)}^2}}  = 5\sqrt 2 \) nên đường kính của mặt cầu là \(10\sqrt 2 \)