Đề: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;1;0} \right),\,B\left( {3; – 1;0} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{2}\). Gọi M là điểm thuộc d sao cho MA+MB nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm M.

d có VTCP  \(\overrightarrow u = \left( {1; – 1;2} \right)\)

\(\overrightarrow {AB} = \left( {2; – 2;4} \right) = 2\overrightarrow u\)

\(A \notin d \Rightarrow AB//d\)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên D

C là điểm đối xứng với A qua d.

Ta tìm được H(0;0;0) suy ra C(-1;-1;0)

\(MA + MB = MC + MB \ge BC,\forall M \in d\)

Nên:  \(Min\left| {MA + MB} \right| = BC\) khi  \(M = BC \cap d\)

Phương trình BC:\(\left\{ \begin{array}{l} x = – 1 + t\\ y = – 1\\ z = t \end{array} \right.\)  

Tọa độ M là nghiệm hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = – 1 + t\\ y = – 1\\ z = t\\ \frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = – 1\\ z = 2 \end{array} \right.\)