Đề: Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;2; – 1} \right),B\left( {2;3;4} \right)\) và \(C\left( {3;5; – 2} \right).\) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trong không gian, mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng cho trước là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Phương trình mặt phẳng trung trực (mặt phẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng đã cho) của AB; BC lần lượt là: \(x + y + 5z – \frac{{23}}{2} = 0;x + 2y – 6z – \frac{9}{2} = 0.\)

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(16x – 11y – z + 5 = 0.\)  

Tập hợp các điểm cách đều A, B, C chính là giao tuyến của mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB và BC.

Mặt khác\(I \in \left( {ABC} \right).\)  Nên I là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 5z – \frac{{23}}{2} = 0\\ x + 2y – 6z – \frac{9}{2} = 0\\ 16x – 11y – z + 5 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{5}{2}\\ y = 4\\ z = 1 \end{array} \right.\)

Vậy:  \(I\left( {\frac{5}{2};4;1} \right)\)