Đề: Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp (nắp trên), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là 4 dm3.

Gọi cạnh đáy là a, chiều cao là h.

Diện tích đáy là: a2.

Diện tích xung quanh là: 4ah

Ta có:\(V = {a^2}h = 4 \Rightarrow ah = \frac{4}{a}(*)\)

Lượng vàng cần phải dùng là: \({a^2} + 4ah = {a^2} + \frac{{16}}{a}\)

Xét hàm số \(f(a) = {a^2} + \frac{{16}}{a},a > 0\) 

Ta có: \(f'(a) = 2a – \frac{{16}}{{{a^2}}}\) 

\(f'(a) = 0 \Leftrightarrow 2a – \frac{{16}}{{{a^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{a^3} – 16}}{{{a^2}}} = 0 \Leftrightarrow a = 2\)

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(a) đạt giá trị nhỏ nhất tại a=2, thay vào (*) suy ra h=1.