Giải bài tập SGK Ôn Chương 1 bài 5,6,7,8 – Hình học 12
****************
Bài tập 5 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Hãy tính đường cao OH của hình chóp.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 5
Gọi I là hình chiếu của O lên AB. Vì OC vuông góc với OA và OB nên \(OC\perp (OAB)\Rightarrow OC\perp AB\).
Từ đó ta suy ra: \(AB\perp (COI)\).
Vậy H là hình chiếu của O lên CI.
Trong tam giác vuông AOB ta có:
\(\frac{1}{OI^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2} \ \ \ (1)\)
Trong tam giác vuông COI ta có: \(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OI^2}+\frac{1}{OC^2} \ \ (2)\)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2} = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{a^2b^2c^2}\)
\(\Leftrightarrow OH=\frac{abc}{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}\)
Nhận xét: Ta có thể tính OH từ mối liên hệ:
\(V_{O.ABC}=\frac{1}{6}abc=\frac{1}{3}.OH.S_{\Delta ABC}\)
=======================
Bài tập 6 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc bằng 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC
b) Tính thể tích khối chóp S.DBC
Hướng dẫn giải chi tiết bài 6
Câu a:
Ta có: AB = BC = CA = a
Gọi O là hình chiều vuông góc của (S) lên (ABC)
Khi đó ta có: \(\widehat{SBO}=\widehat{SCO}=\widehat{SAO}=60^0\)
\(\Rightarrow \Delta SOA=\Delta SOB=\Delta SOC\)
\(\Rightarrow OA=OB=OC\) hay O là tâm của tam giác đều ABC.
Trong các tam giác SOA, SOB, SOC. Ta có:
\(SA=SB=SC=2OA=2.\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
\(SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=a\)
Gọi I là trung điểm của BC, ta có: \(ID\perp SA\)
Nên \(ID. SA=SO.IA\Rightarrow ID=\frac{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{2a\sqrt{3}}{3}}= \frac{3}{4}a\)
Xét tam giác vuông IDA, ta có:
\(DA=\sqrt{IA^2-ID^2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow SD=\frac{2a\sqrt{3}}{3}- \frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{5a\sqrt{3}}{12}\)
Mặt khác:
\(\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.DBC}}=\frac{V_{S.DBC}+V_{A.BCD}}{V_{SDBC}}= 1+\frac{AD}{SD}\)
\(=1+\frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\frac{5a\sqrt{3}}{12}}=\frac{8}{5}\Rightarrow \frac{V_{S.DBC}}{V_{S.ABC}}=\frac{5}{8}\)
Câu b:
Ta có:
\(V_{S.DBC}=\frac{1}{3}SD.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{5a\sqrt{3}}{12}. \frac{1}{2}.\frac{3}{4}a.a=\frac{5a^3\sqrt{3}}{96}\)
\(\Rightarrow V_{SABC}=\frac{8}{5}.\frac{5a\sqrt{3}}{96}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}\)
Bài tập 7 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a; BC = 6A; CA=7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc bằng 600. Tình thể tích khối chóp đó.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 7
Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh BC, CA, AB. Xét các tam giác vuông: SHA’, SHB’, SHC’ có:
\(\widehat{SA’H}=\widehat{SB’H}=\widehat{SC’H}=60^0\) (vì các góc này chính là các góc của mặt bên và mặt đáy ABC)
Từ các tam giác vuông đó dễ dàng suy ra \(SC’=SA’=SB’\) nên HA’ = HB’= HC’ ⇒ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Mặt khác diện tích của tam giác ABC có thể tính theo công thức:
\(S_{\Delta ABC}=\sqrt{(p-AB)(p-AC)(p-BC).p}\)
Với \(p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{5a+6a+7a}{2}=9a\)
Do đó: \(S_{\Delta ABC}=\sqrt{(9a-5a)(9a-6a)(9a-7a)p}=\sqrt{216a^4}=6a^2\sqrt{6}\)
Vì \(S_{\Delta ABC}=p.r\) (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
\(\Rightarrow r=\frac{6a^2\sqrt{6}}{9a}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}\)
Xét tam giác vuông SHA’, ta có: \(tan 60^0=\frac{SH}{HA’}\Rightarrow SH=r.tan60^0\)
\(\Rightarrow SH=\frac{2a\sqrt{6}}{3}.\sqrt{3}=2\sqrt{2}a\)
Do đó thể tích của khối chóp S.ABC là:
\(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}S._{\Delta ABC}.SH=\frac{1}{3}.6.a^2\sqrt{6}. 2\sqrt{2}a=8\sqrt{3}a^3\)
========================
Bài tập 8 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với đáy và AB=a, AD=b, SA=c. Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho \(AB’\perp SB, AD’\perp SD\). Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 8
Dựng điểm C’ như hình vẽ.
Ta có: \(BC\perp AB\) (giả thiết) (1)
Mặt khác: \(SA\perp (ABCD)\) nên \(SA\perp BC\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(BC\perp (SAB)\)
\(\Rightarrow BC\perp AB’\) (3)
Ta có: \(AB’\perp SB\) (giả thiết) (4)
Từ (3) và (4) suy ra suy ra \(AB’\perp (SBC)\)
Hay ta có được \(AB’\perp BC’\)
\(\Leftrightarrow \Delta AB’C’\) vuông tại B’
Hoàn toàn tương tự ta cũng có \(\Delta AD’C’\) vuông tại D’
Ta có: \(AB’\perp SC;AD’\perp SC\)
(vì \(AB’\perp (SBC), AD’\perp (SDC)\))
Nên \(SC\perp (AB’C’D’)\). Vì vậy:
\(V_{S.AB’C’D’}=\frac{1}{3}.S_{AB’C’D’}.SC’=\frac{1}{3} \left [ S_{\Delta AB’C’}+S_{\Delta AD’C’} \right ].SC’\)
\(=\frac{1}{6}\left [ AB’.B’C’+AD’.D’C’ \right ].SC’ \ \ (*)\)
Ta có:
\(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{a^2+c^2}{a^2.c^2} \Rightarrow AB^2=\frac{a^2.c^2}{a^2+c^2}\Rightarrow AB^2= \frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}\) (5)
Tương tự: \(AD’^2=\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}\Rightarrow AD’=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}\) (6)
\(\frac{1}{AC’^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}= \frac{a^2+b^2+c^2}{c^2(a^2+b^2)}\)
\(\Rightarrow AC’^2=\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+c^2}\Rightarrow AC’= \frac{c\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) (7)
\(\Rightarrow BC’^2=AC’^2-AB’^2=-\frac{a^2c^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\frac{-a^4c^2-a^2b^2c^2-a^2c^4+a^4c^2+c^4a^2+a^2b^2c^2+c^4b^2} {(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\)
\(=\frac{c^4b^2}{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\)
\(\Rightarrow B’C’=\frac{c^2b}{\sqrt{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}} \ \ (8)\)
Tương tự: \(C’D’=\frac{c^2a}{\sqrt{(b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}} \ \ (9); SC’= \frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \ \ (10)\)
Thay (5) (6) (7) (8) (9) và (10) vào (*) ta có:
\(V_{S.AB’C’D’}=\)
\(\frac{1}{6}\Bigg [ \frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}.\frac{c^2b}{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\).\(+ \frac{bc}{\sqrt{a^2+c^2}}. \frac{c^2a}{\sqrt{(b^2+c^2)}(a^2+b^2+c^2)} \Bigg ]\) \(\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
\(=\frac{1}{6}\frac{c^5ab}{a^2+b^2+c^2} \left [ \frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2} \right ]\)
=====================
Trả lời