Giải bài tập Bài 1 Khối đa diện – SGK hình học 12 cơ bản

Gọi số các mặt của đa diện là n \((n\in \mathbb{Z},n\geq 4)\). Vì mỗi mặt của khối đa diện có 3 cạnh và mỗi cạnh chỉ là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh của nó là: \(\frac{3n}{2}\)

Vì số cạnh phải là số tự nhiên, nên ta có 3n chia hết cho 2, từ đây ta suy ra r chia hết cho 2.

Giả sử tổng số đỉnh của khối đa diện là n \((n\geq 4, n\in \mathbb{N}*)\) và các đỉnh là: A₁, A₂, A₃,..,A_n. Gọi số mặt của đa diện chứa đỉnh A_i  là 2m_i +1 ⇒ số cạnh A_i là 2m_i + 1. Vì mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh của khối đa diện là:

\(c=\frac{2m_1+1+2m_2+1+…+2m_n+1}{2}\left ( i=\overline{1,n};m\in \mathbb{N}^* \right )\)

\(=\frac{2(m_1+m_2+…+m_n)+n}{2}=m_1+m_2+…+m_n+\frac{n}{2}\)

Vì c nguyên, nên \(\frac{n}{2}\) nguyên hay n là số chẵn.

Chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành năm khối tứ diện như sau:A’B’CD’, A’AB’D’, BACB’, C’B’CD’, DACD’.

Chia lăng trụ ABD.A’B’D’ thành ba tứ diện DABD’, A’ABD’, A’B’BD’. Phép đối xứng qua (ABD’) biến DABD’ thành A’ABD’, Phép đối xứng qua (BA’D’) biến A’ABD’ thành A’B’BD’ nên ba tứ diện DABA’, A’ABD’, A’B’BD’ bằng nhau

Làm tương tự đối với lăng trụ BCD.B’C’D’ ta sẽ chia được hình lập phương thành sáu tứ diện bằng nhau.