Giải bài tập Bài 5,6,7,8 Ôn Chương 1 – SGK hình học 12 cơ bản

Hướng dẫn giải chi tiết bài 7

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh BC, CA, AB. Xét các tam giác vuông: SHA’, SHB’, SHC’ có:

\(\widehat{SA’H}=\widehat{SB’H}=\widehat{SC’H}=60^0\) (vì các góc này chính là các góc của mặt bên và mặt đáy ABC)

Từ các tam giác vuông đó dễ dàng suy ra \(SC’=SA’=SB’\) nên HA’ = HB’= HC’ ⇒ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Mặt khác diện tích của tam giác ABC có thể tính theo công thức:

\(S_{\Delta ABC}=\sqrt{(p-AB)(p-AC)(p-BC).p}\)

Với \(p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{5a+6a+7a}{2}=9a\)

Do đó: \(S_{\Delta ABC}=\sqrt{(9a-5a)(9a-6a)(9a-7a)p}=\sqrt{216a^4}=6a^2\sqrt{6}\)

Vì \(S_{\Delta ABC}=p.r\) (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)

\(\Rightarrow r=\frac{6a^2\sqrt{6}}{9a}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}\)

Xét tam giác vuông SHA’, ta có: \(tan 60^0=\frac{SH}{HA’}\Rightarrow SH=r.tan60^0\)

\(\Rightarrow SH=\frac{2a\sqrt{6}}{3}.\sqrt{3}=2\sqrt{2}a\)

Do đó thể tích của khối chóp S.ABC là:

\(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}S._{\Delta ABC}.SH=\frac{1}{3}.6.a^2\sqrt{6}. 2\sqrt{2}a=8\sqrt{3}a^3\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 8

Dựng điểm C’ như hình vẽ.

Ta có: \(BC\perp AB\) (giả thiết)  (1)

Mặt khác: \(SA\perp (ABCD)\) nên \(SA\perp BC\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(BC\perp (SAB)\)

\(\Rightarrow BC\perp AB’\)       (3)

Ta có: \(AB’\perp SB\) (giả thiết)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra suy ra \(AB’\perp (SBC)\)

Hay ta có được \(AB’\perp BC’\)

\(\Leftrightarrow \Delta AB’C’\) vuông tại B’

Hoàn toàn tương tự ta cũng có \(\Delta AD’C’\) vuông tại D’

Ta có: \(AB’\perp SC;AD’\perp SC\)

(vì \(AB’\perp (SBC), AD’\perp (SDC)\))

Nên \(SC\perp (AB’C’D’)\). Vì vậy:

\(V_{S.AB’C’D’}=\frac{1}{3}.S_{AB’C’D’}.SC’=\frac{1}{3} \left [ S_{\Delta AB’C’}+S_{\Delta AD’C’} \right ].SC’\)

\(=\frac{1}{6}\left [ AB’.B’C’+AD’.D’C’ \right ].SC’ \ \ (*)\)

Ta có:

\(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{a^2+c^2}{a^2.c^2} \Rightarrow AB^2=\frac{a^2.c^2}{a^2+c^2}\Rightarrow AB^2= \frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}\) (5)

Tương tự: \(AD’^2=\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}\Rightarrow AD’=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}\)  (6)

\(\frac{1}{AC’^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}= \frac{a^2+b^2+c^2}{c^2(a^2+b^2)}\)

\(\Rightarrow AC’^2=\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+c^2}\Rightarrow AC’= \frac{c\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)  (7)

\(\Rightarrow BC’^2=AC’^2-AB’^2=-\frac{a^2c^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+c^2}\)

\(=\frac{-a^4c^2-a^2b^2c^2-a^2c^4+a^4c^2+c^4a^2+a^2b^2c^2+c^4b^2} {(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\)

\(=\frac{c^4b^2}{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\)

\(\Rightarrow B’C’=\frac{c^2b}{\sqrt{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}} \ \ (8)\)

Tương tự: \(C’D’=\frac{c^2a}{\sqrt{(b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}} \ \ (9); SC’= \frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \ \ (10)\)

Thay (5) (6) (7) (8) (9) và (10) vào (*) ta có:

\(V_{S.AB’C’D’}=\)

\(\frac{1}{6}\Bigg [ \frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}.\frac{c^2b}{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\).\(+ \frac{bc}{\sqrt{a^2+c^2}}. \frac{c^2a}{\sqrt{(b^2+c^2)}(a^2+b^2+c^2)} \Bigg ]\) \(\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

\(=\frac{1}{6}\frac{c^5ab}{a^2+b^2+c^2} \left [ \frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2} \right ]\)