• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Anh
  • Môn Sinh
  • Môn Văn
Bạn đang ở:Trang chủ / Giải bài tập Toán 12 / Giải bài tập Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện – SGK hình học 12 cơ bản

Giải bài tập Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện – SGK hình học 12 cơ bản

Đăng ngày: 07/11/2018 Biên tâp: admin Để lại bình luận Thuộc chủ đề:Giải bài tập Toán 12

Giải bài 1 trang 25 SGK Hình học 12. 

Đề bài

Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a\).

+) Gọi \(AH\) là đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện đều \(ABCD\) \(\left({H \in (BCD)} \right)\).

+) Do tứ diện ABCD đều, chứng minh H là trong tâm tam giác \(ABC\).

+) Sử dụng định lí Pytago tính độ dài \(AH\).

+) Áp dụng công thức tính thể tích: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH.{S_{BCD}}\).

Lời giải chi tiết

Giải bài tập Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện – SGK hình học 12 cơ bản

Cho tứ diện đều \(ABCD\). Hạ \(AH \bot \left( {BCD} \right)\)

Dễ dàng chứng minh được \({\Delta _v}AHB = {\Delta _v}AHC = {\Delta _v}AHD\,\,\left( {ch – cgv} \right) \Rightarrow HB = HC = HD,\) do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\).

Do \(BCD\) là tam giác đều nên \(H\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\).

Do đó \(BH = {2 \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 2}a = {{\sqrt 3 } \over 3}a\)

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \(ABH\) ta có: \(A{H^2} = A{B^2} – B{H^2} = {a^2} – \frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Do tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\) nên: \({S_{BCD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH.{S_{BCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\)


Bài tập 2 trang 25 SGK Hình học 12

Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Giải bài tập Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện – SGK hình học 12 cơ bản

Ta có:

\({V_{ABCDEF}} = {V_{ABCDE}} + {V_{FBCDE}} = 2{V_{ABCDE}} = 2.\frac{1}{2}{S_{BCDE}}.AO\)

Với O là tâm hình vuông BCDE.

Vì AO vuông góc với mặt phẳng BCDO nên theo định lý Pi-ta-go ta có:

\(AO = \sqrt {A{B^2} – B{O^2}}  = \sqrt {{a^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\)

Vì BCDE là hình vuông cạnh a nên: \({S_{BCDE}} = {a^2}.\)

Do đó: \({V_{ABCDEF}} = \frac{2}{3}{a^2}.\frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)

 


Bài tập 3 trang 25 SGK Hình học 12

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Giải bài tập Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện – SGK hình học 12 cơ bản

Gọi thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là V

Ta có: \({V_{B’.ABC}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A’B’C’}} = \frac{1}{6}V.\)

\({V_{A.B’D’A’}} = \frac{1}{3}{V_{ABD.A’B’D’}} = \frac{1}{6}V.\)

\({V_{D’.ACD}} = \frac{1}{3}{V_{ACD.A’C’D’}} = \frac{1}{6}V.\)

\({V_{C.B’D’C’}} = \frac{1}{3}{V_{BCD.B’C’D’}} = \frac{1}{6}V.\)

Mặt khác: \({V_{C.AD’B’}} = V – \left( {{V_{B’.ABC}} + {V_{A.B’D’A’}} + {V_{D’.ACD}} + {V_{C.B’C’D’}}} \right) = V – \frac{4}{6}V = \frac{1}{3}V.\)

Do đó: \(\frac{{{V_{ABCD.A’B’C’D’}}}}{{{V_{ACB’D’}}}} = 3.\)

===========

Giải bài 4 trang 25 SGK Hình học 12. 

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABC\). Trên các đoạn thẳng \(SA, SB, SC\) lần lượt lấy ba điểm \(A’, B’, C’\) khác với \(S\). Chứng minh rằng

\({{{V_{S.A’B’C’}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SA’} \over {SA}} \cdot {{SB’} \over {SB}} \cdot {{SC’} \over {SC}}\)

+) Gọi h và h’ lần lượt là chiều cao hạ từ A và A’ đến \((BCD)\), dựa vào định lí Vi-et tính tỉ số \(\frac{h’}{{h}}\).

+) Sử dụng công thức tính diện tích \({S_{\Delta SB’C’}} = \frac{1}{2}SB.SC.\sin \widehat {BSC}\) tính diện tích tam giác \(SB’C’\), tương tự tính diện tích tam giác\(SBC\), sau đó suy ra tỉ số \(\frac{{{S_{\Delta SB’C’}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}}\).

+) Sử dụng công thức tính thể tích \(V = \frac{1}{3}S.h\) lập tỉ số thể tích S.A’B’C’ và S.ABC, rút gọn và suy ra kết quả.

Lời giải chi tiết

Giải bài tập Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện – SGK hình học 12 cơ bản

Gọi \(h\) và \(h’\) lần lượt là chiều cao hạ từ \(A, A’\) đến mặt phẳng \((SBC)\).

Gọi \(S_1\) và \(S_2\) theo thứ tự là diện tích các tam giác \(SBC\) và \(SB’C’\).

Khi đó ta có \({{h’} \over h} = {{SA’} \over {SA}}\)

và \(\frac{{{S_{SB’C’}}}}{{{S_{SBC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}SB’.SC’.\sin \widehat {BSC}}}{{\frac{1}{2}SB.SC.\sin \widehat {BSC}}} = \frac{{SB’}}{{SB}}.\frac{{SC’}}{{SC}}\).

Suy ra \({{{V_{S.A’B’C’}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{{V_{A’.SB’C’}}} \over {{V_{A.SBC}}}} = {{{1 \over 3}h'{S_2}} \over {{1 \over 3}h{S_1}}} = {{SA’} \over {SA}} \cdot {{SB’} \over {SB}} \cdot {{SC’} \over {SC}}\)

Đó là điều phải chứng minh.


Giải bài 5 trang 26 SGK Hình học 12. 

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(A\) và \(AB = a\). Trên đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) lấy điểm \(D\) sao cho \(CD = a\). Mặt phẳng qua \(C\) vuông góc với \(BD\), cắt \(BD\) tại \(F\) và cắt \(AD\) tại \(E\). Tính thể tích khối tứ diện \(CDEF\) theo \(a\).

+) Dựng các điêm F và E.

+) Chứng minh tam giác CEF vuông tại E \( \Rightarrow {S_{CEF}} = \frac{1}{2}EF.EC\)

+) \({V_{CDEF}} = \frac{1}{3}DF.{S_{CEF}} = \frac{1}{3}DF.\frac{1}{2}EF.EC = \frac{1}{6}DF.EF.EC\)

+) Sử dụng định lí Pitago và các hệ thức lượng trong tam giác vuông tính CE, EF và DF.

Lời giải chi tiết

Giải bài tập Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện – SGK hình học 12 cơ bản

\(\left.\begin{matrix} BA \perp CD& \\ BA \perp CA& \end{matrix}\right\}\)\( \Rightarrow BA\bot (ADC)\) \(\Rightarrow BA \bot CE\)

Mặt khác \(BD \bot (CEF) \Rightarrow BD \bot CE\).

Từ đó suy ra

\(CE \bot (ABD) \Rightarrow CE ⊥ EF, CE \bot AD\).

Vì tam giác \(ACD\) vuông cân, \(AC= CD= a\) nên \(CE=\frac{AD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Ta có \(BC = a\sqrt{2}\), \(BD = \sqrt{2a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{3}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(BCD\) ta có: \(CF\cdot BD = DC\cdot BC\) nên \(CF=\frac{a^{2}\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}\)

Từ đó suy ra

\(EF= \sqrt{CF^{2}-CE^{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}a^{2}-\frac{a^{2}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}a\).

\(DF=\sqrt{DC^{2}-CF^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{2}{3}a^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a\).

Từ đó suy ra \(S_{\Delta CEF}=\frac{1}{2}FE\cdot EC=\frac{1}{2}\frac{a\sqrt{6}}{6}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\)

Vậy \(V_{D.CEF}=\frac{1}{3}S_{\Delta CEF}\cdot DF=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a^{3}}{36}.\)


Giải bài 6 trang 26 SGK Hình học 12. 

Đề bài

Cho hai đường thẳng chéo nhau \(d\) và \(d’\). Đoạn thằng \(AB\) có độ dài \(a\) trượt trên \(d\), đoạn thẳng \(CD\) có độ dài \(b\) trượt trên \(d’\). Chứng minh rằng khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích không đổi.

Lời giải chi tiết

Giải bài tập Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện – SGK hình học 12 cơ bản

Gọi \(h\) là độ dài đường vuông góc chung của \(d\) và \(d’\), \(α\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d’\). Qua \(B, A, C\) dựng hình bình hành \(BACF\). Qua \(A,C, D\) dựng hình bình hành \(ACDE\).

Khi đó \(CFD.ABE\) là một hình lăng trụ tam giác. Ta có:

\[\begin{array}{l}
{V_{D.ABE}} + {V_{D.BACF}} = {V_{CFD.ABE}}\\
{V_{D.ABE}} = \frac{1}{3}{V_{CFD.ABE}} \Rightarrow {V_{D.BACF}} = \frac{2}{3}{V_{CFD.ABE}}\\
{V_{D.ABC}} = \frac{1}{2}{V_{D.BACF}} \Rightarrow {V_{D.ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}{V_{CFD.ABE}} = \frac{1}{3}{V_{CFD.ABE}}
\end{array}\]

Kẻ \(AH \bot \left( {CDF} \right)\) ta có: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.V_{CFD.ABE} =  \frac{1}{3}.AH.{S_{CDF}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}AB//CF \Rightarrow AB//\left( {CDF} \right) \supset CD\\\Rightarrow d\left( {d;d’} \right) = d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {AB;\left( {CDF} \right)} \right) \end{array}\)

\(= d\left( {A;\left( {CDF}\right)} \right) = AH = h\)

\(AB//CF \Rightarrow \widehat {\left( {d;d’} \right)} = \widehat {\left( {AB;CD} \right)} = \widehat {\left( {CF;CD} \right)} = \widehat {DCF} = \alpha \)

\( \Rightarrow {S_{CDF}} = \frac{1}{2}.CD.CF.\sin \widehat {DCF} = \frac{1}{2}ab\sin \alpha \)

Vậy \(V_{ABCD}=\frac{1}{3}.h.\frac{1}{2}ab\sin \alpha =\frac{1}{6}.h. ab. sinα = const\). (đpcm)

 

===============
giai bai tap hinh hoc 12
giai bai tap hinh hoc 12

giai bai tap hinh hoc 12

giai bai tap hinh hoc 12

giai bai tap hinh hoc 12

Tag với:GBT hinh hoc 12 chuong 1

Bài liên quan:

  • Ôn tập chương I Khối đa diện
  • Giải bài tập phần trắc nghiệm Ôn Chương 1 – SGK hình học 12 cơ bản
  • Giải bài tập Bài 9,10,11,12 Ôn Chương 1 – SGK hình học 12 cơ bản
  • Giải bài tập Bài 5,6,7,8 Ôn Chương 1 – SGK hình học 12 cơ bản
  • Giải bài tập Bài 1-4 Ôn Chương 1 – SGK hình học 12 cơ bản
  • Giải bài tập Bài 2 Khối đa diện lồi và khối đa diện đều – SGK hình học 12 cơ bản
  • Giải bài tập Bài 1 Khối đa diện – SGK hình học 12 cơ bản

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Giải Bài Tập Giải Tích 12 CB – Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
  • Giải Bài Tập Giải Tích 12 CB – Chương II: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit
  • Giải Bài Tập Giải Tích 12 CB – Chương III: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
  • Giải Bài Tập Giải Tích 12 CB – Chương IV: SỐ PHỨC
  • Giải Bài Tập Hình Học 12 CB – Chương I KHỐI ĐA DIỆN 
  • Giải Bài Tập Hình Học 12 CB – Chương II MẶT NÓN , MẶT TRỤ, MẶT CẦU  
  • Giải Bài Tập Hình Học 12 CB – Chương III: PP Tọa độ trong không gian
  • Giải Bài Tập Toán 12 nâng cao




Booktoan.com (2015 - 2021) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.