Xét các số thực dương \(x\), \(y\) thỏa mãn: \({\log _3}{\left[ {\left( {{x^2} + 6x + 3} \right)(y + 2)} \right]^{(y + 2)}} = 27 – ({x^2} + 6x)(y + 2)\).
Khi biểu thức \(P = ({x^2} + 10x + 3)y – 4xy + 16x\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(x + 10y\) bằng
A. \(3\).
B. \(7\).
C. \(8\).
D. \(9\).
Lời giải:
Ta có: \({\log _3}{\left[ {\left( {{x^2} + 6x + 3} \right).(y + 2)} \right]^{(y + 2)}} = 27 – ({x^2} + 6x)(y + 2)\)
\( \Leftrightarrow (y + 2){\log _3}\left[ {\left( {{x^2} + 6x + 3} \right).(y + 2)} \right] = 27 – ({x^2} + 6x)(y + 2)\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {{x^2} + 6x + 3} \right).(y + 2)} \right] = \frac{{27}}{{y + 2}} – ({x^2} + 6x)\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {{x^2} + 6x + 3} \right).(y + 2)} \right] = \frac{{27}}{{y + 2}} – ({x^2} + 6x + 3) + 3\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 6x + 3} \right) + ({x^2} + 6x + 3) = \frac{{27}}{{y + 2}} – {\log _3}\left( {y + 2} \right) + 3\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 6x + 3} \right) + ({x^2} + 6x + 3) = \frac{{27}}{{y + 2}} + {\log _3}\left( {\frac{{27}}{{y + 2}}} \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\), với \(\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)
Suy ra \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Khi đó \(\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 3 = \frac{{27}}{{y + 2}}\) \( \Leftrightarrow y + 2 = \frac{{27}}{{{x^2} + 6x + 3}} \Leftrightarrow y = \frac{{21 – 2{x^2} – 12x}}{{{x^2} + 6x + 3}}\)
Nên\(P = ({x^2} + 10x + 3)y – 4xy + 16x = ({x^2} + 6x + 3)y + 16x\).
\( = 21 – 2{x^2} + 4x = 23 – 2{\left( {x – 1} \right)^2} \le 23\).
\({\rm{Max}}P = 23\) khi \(x = 1 \Rightarrow y = \frac{7}{{10}}\)
Vậy: \(x + 10y = 8\).
===========
Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024
Để lại một bình luận