Trả lời câu hỏi trong bài 4 Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng – Toán 10 Cánh Diều
=======
LT-VD 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
${{\Delta }_{1}}$: $\left\{ \begin{align}& x=1+{{t}_{1}} \\ & y=-2+{{t}_{1}} \\ \end{align} \right.$ và
${{\Delta }_{2}}$: $\left\{ \begin{align}& x=2{{t}_{2}} \\ & y=-3+2{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$; ${{\Delta }_{2}}$ lần lượt có vecto chỉ phương: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;1 \right)$ ; $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 2;2 \right)$.
$\Rightarrow$ $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ = 2 $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$.
Chọn t1=0 ta có điểm $M\left( 1;-2 \right)\in {{\Delta }_{1}}$ . Thay tọa độ của $M\left( 1;-2 \right)$ vào ${{\Delta }_{2}}$ ta được:
$\left\{ \begin{align}& 1=2.{{t}_{2}} \\ & y=-2+{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 1=2.{{t}_{2}} \\ & y=-2+{{t}_{2}}\\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{t}_{2}}=\frac{1}{2} \\ & -2=-2+{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{t}_{2}}=\frac{1}{2} \\ & {{t}_{2}}=0 \\ \end{align} \right.$ (vô lí)
$\Rightarrow$ $M\left( 1;-2 \right)\notin {{\Delta }_{2}}$.
Vậy ${{\Delta }_{1}}$ //${{\Delta }_{2}}$.
LT-VD 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d: x + 2y -2 = 0 với mỗi đường thẳng sau
${{\Delta }_{1}}$: 3x-2y + 6 =0
${{\Delta }_{2}}$: x + 2y + 2 = 0
${{\Delta }_{3}}$: 2x + 4y – 4 = 0
Hướng dẫn giải:
$\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\ & 3x-2y+6=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\& 3x-2y+6=0 \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{align}& 4x=-4 \\& y=\frac{2-x}{2} \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-1 \\& y=\frac{3}{2} \\\end{align} \right.$
$\Rightarrow$ Hệ có nghiệm duy nhất $x=-1$ và $y=\frac{3}{2}$
Vậy d và ${{\Delta }_{1}}$ có 1 điểm chung, hay d cắt ${{\Delta }_{1}}$ .
$\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\ & x+2y+2=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\& x+2y+2=0 \\\end{align} \right.$
Có: $\frac{1}{1}=\frac{2}{2}\ne \frac{-2}{-4}$ $\Rightarrow$ Hệ vô nghiệm.
Vậy d và ${{\Delta }_{2}}$ không có điểm chung, tức d // ${{\Delta }_{2}}$
$\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\ & 2x+4y-4=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\& 2x+4y-4=0 \\\end{align} \right.$
Có: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4} =\frac{-2}{-4}$ $\Rightarrow$ Hệ có vô số nghiệm.
Vậy d và ${{\Delta }_{3}}$ có vô số điểm chung, tức d $\equiv$ ${{\Delta }_{3}}$.
LT-VD 3: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$ trong mỗi trường hợp sau:
a. ${{\Delta }_{1}}$ : $\left\{ \begin{align}& x=-3+3\sqrt{3}t \\& y=2+3t \\\end{align} \right.$
và ${{\Delta }_{2}}$: y – 4 = 0.
b. ${{\Delta }_{1}}$: 2x – y = 0 và ${{\Delta }_{2}}$: -x+3y – 5 = 0.
Hướng dẫn giải:
a. Đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$; ${{\Delta }_{2}}$ lần lượt có vecto chỉ phương: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 3\sqrt{3};3 \right)$ ; $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;0 \right)$.
$\cos \left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}, \right)=\frac{\left| 3\sqrt{3}.1+3.0 \right|}{\sqrt{{{(3\sqrt{3})}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{3}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}.3}=\frac{\sqrt{21}}{14}$.
$\widehat{\left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}, \right)}\approx 70,{{9}^{o}}$
b. Đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$; ${{\Delta }_{2}}$ lần lượt có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 2;-1 \right)$ ; $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( -1;3 \right)$.
$\cos \left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}, \right)=\frac{\left| 2.(-1)+(-1).3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}.\sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\frac{5}{\sqrt{5}.\sqrt{5}}=1$
$\widehat{\left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}, \right)}$ = 90o
LT-VD 4:
a. Tính khoảng cách từ điểm O(0;0) đến đường thẳng ${{\Delta }$:
$\frac{x}{-4}+\frac{y}{2}=1$
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:
${{\Delta }_{1}}$: x -y + 1 = 0 và ${{\Delta }_{2}}$: x -y + 1$
Hướng dẫn giải:
a. $\Delta :2x-4y+8=0$
$d\left( O;\Delta \right)=\frac{\left| 2.0-4.0+8 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}}=\frac{8}{2\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$
b. Có: $\frac{1}{1}=\frac{-1}{-1}$
$\Rightarrow$ ${{\Delta }_{1}}$ // ${{\Delta }_{2}}$
Chọn M(0; 1) $\in {{\Delta }_{1}}$
$\Rightarrow$ $d({{\Delta }_{1}};{{\Delta }_{2}})=d(M;{{\Delta }_{2}})(M\in {{\Delta }_{1}})$
$d\left( M;{{\Delta }_{2}} \right)=\frac{\left| 0-1-1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
============
Thuộc chủ đề: Học Toán lớp 10 – Cánh diều
Trả lời