Lý thuyết Bài 1: Tọa độ của vectơ – Toán 10 Cánh Diều

Bài 1: Tọa độ của vectơ – Toán 10 Cánh Diều

=======

1.1. Toạ độ của một điểm

Để xác định toạ độ của một điểm M tuỳ ý trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta làm như sau:

+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.

+Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm /M.

Cặp số (a; b) là toạ độ của điểm M trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a; b).

1.2. Toạ độ của một vectơ

Toạ độ của điểm M được gọi là toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \).

Nếu \(\overrightarrow {OM} \) có toạ độ (a ; b) thì ta viết \(\overrightarrow {OM} \) = (a; b), trong đó a gọi là hoành độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) và b gọi là tung độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) (Hình sau).

+ Với mỗi vectơ \(\overrightarrow u \) trong mặt phẳng toạ độ Oxy, toạ độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là toạ độ của điểm A sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow u \). + Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nếu \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) thì \(\overrightarrow u  = a\overrightarrow i  + b\overrightarrow j \). Ngược lại, nếu \(\overrightarrow u  = a\overrightarrow i  + b\overrightarrow j \) thì \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\).

Chú ý: Với \(\overrightarrow a  = \left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {{x_2};{y_2}} \right)\), ta có: \(\overrightarrow a  = \overrightarrow b  = \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = {x_2}\\
{y_1} = {y_2}
\end{array} \right.\)

Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết toạ độ của nó.

Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 2) và vectơ \(\overrightarrow u \) = (3 ;- 4).

a) Biểu diễn vectở \(\overrightarrow OA \) qua vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).

b) Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow u \) qua vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).

Giải

a) Vì điểm A có toạ độ là (1 ; 2) nên \(\overrightarrow OA \) = (1; 2). Do đó:

\(\overrightarrow {OA}  = 1\overrightarrow i  + 2\overrightarrow j  = \overrightarrow i  + 2\overrightarrow j \). 

b) Vì \(\overrightarrow u \) =(3; – 4) nên \(\overrightarrow u  = 3\overrightarrow i  + \left( { – 4} \right)\overrightarrow j  = 3\overrightarrow i  – 4\overrightarrow j \).

1.3. Liên hệ giữa toạ độ của điểm và toạ độ của vectơ

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A}} \right)\)

Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(1; 1), B(4; 3), C(-1; -2) không thẳng hàng.

a) Tìm toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \).

b) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4 – 1;3 – 1} \right)\). Vậy \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;2} \right)\).

b) Gọi toạ độ của điểm D là \(\left( {{x_D};{y_D}} \right)\), tả có: \(\overrightarrow {DC}  = \left( { – 1 – {x_D}; – 2 – {y_D}} \right)\). 

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:

\(\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {DC}  = \left( {3;2} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 – 1 – {x_D} = 3\\
 – 2 – {y_D} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} =  – 4\\
{y_D} =  – 4
\end{array} \right.\)

Vậy D(- 4;- 4).

Câu 1: Tìm tọa độ của các vecto \(\overrightarrow c ,\overrightarrow d \) trong Hình 11

Hướng dẫn giải

 Ta vẽ vecto \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow d \) và \(A\left( {0;2} \right)\). Tọa độ \(\overrightarrow {OA} \) chính là tọa độ của điểm A nên \(\overrightarrow d  = \left( {2;2} \right)\)

Ta vẽ vecto \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow c \) và \(A\left( { – 3;0} \right)\). Tọa độ \(\overrightarrow {OB} \) chính là tọa độ của điểm B nên \(\overrightarrow c  = \left( { – 3;0} \right)\)

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm B(-1;0) và vecto \(\overrightarrow v  = \left( {0; – 7} \right)\)

a) Biểu diễn vecto \(\overrightarrow v \) qua hai vecto \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j \)

b) Biểu diễn vecto \(\overrightarrow {OB} \) qua hai vecto\(\overrightarrow i ,\overrightarrow j \)

Hướng dẫn giải

a) Vì \(\overrightarrow v  = \left( {0; – 7} \right)\)nên \(\overrightarrow v  = 0\overrightarrow i  + \left( { – 7} \right)\overrightarrow j  =  – 7\overrightarrow j \)

b) Vì B có tọa  độ là (-1; 0) nên \(\overrightarrow {OB}  = \left( { – 1;{\rm{ }}0} \right)\). Do đó: \(\overrightarrow {OB}  = \left( { – 1} \right)\overrightarrow i  + 0\overrightarrow j  =  – \overrightarrow i \)

 

============

Thuộc chủ đề: Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng