Lý thuyết Bài 5: Phương trình đường tròn – Toán 10 Cánh Diều

Bài 5: Phương trình đường tròn – Toán 10 Cánh Diều

=======

1.1. Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn ở dạng trên thường được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn.

Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình: \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16\). Viết phương trình đường tròn (C’) có tâm J(2; – 1) và có bán kinh gấp đôi bán kính đường tròn (C).

Giải

Ta viết phương trình của (C) ở dạng \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – \left( { – 3} \right)} \right)^2} = {4^2}\)

Vậy (C) có tâm I = (2;- 3) và bán kinh R= 4.

Đường tròn (C’) có tâm J(2; – 1) và có bán kinh R’= 2R= 8, nên có phương trình \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 64\).  

Chú ý: Do có duy nhất một đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước nên ta có thể lập được phương trình đường tròn đó khi biết toạ độ của ba điểm nói trên.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(2; 0), B(0; 4), C(-7: 3).

Giải

Các đoạn thẳng AB, AC tương ứng có trung điểm là M(1 2), \(N\left( { – \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\). Đường thẳng trung trực \({\Delta _1}\) của đoạn thằng AB đi qua M(1, 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} \left( { – 2;{\rm{ }}4} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AB} \left( { – 2;{\rm{ }}4} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow n \left( {1; – 2} \right)\) nên \({\Delta _1}\) cũng nhận \(\overrightarrow n \left( {1; – 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình của \({\Delta _1}\) là

1(x – 1) – 2(y – 2)= 0 hay x – 2y + 3 = 0.

Đường thẳng trung trực \({\Delta _2}\) của đoạn thẳng AC đi qua \(N\left( { – \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AC} \left( { – 9,{\rm{ }}3} \right)\).

Vi A \( \in \) (-9; 3) cùng phương với n; (3 – 1) nên Az cũng nhận n; (3 – 1) là vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trinh của \({\Delta _2}\) là

\(3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) – 1\left( {y – \frac{3}{2}} \right) = 0\) hay \(3x – y + 9 = 0\) 

Tâm I của đường tròn (C) cách đều ba điểm A, B, C nên I là giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Vậy toạ độ của I là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x – 2y + 3 = 0\\
3x – y + 9 = 0
\end{array} \right.\)

Suy ra I(-3; 0). Đường tròn (C) có bán kính là IA = 5. Vậy phương trình của (C) là \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} = 25\). 

1.2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Ví dụ: Cho đường tròn (C) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 5\). Điểm M(0; 1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của (C).

Giải

Do \({\left( {0 + 1} \right)^2} + {\left( {1 – 3} \right)^2} = 5\), nên điểm M thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm là I(-1; 3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MI}  = \left( { – 1;2} \right)\), nên có phương trình 

\( – 1\left( {x – 0} \right) + 2\left( {y – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 2y + 2 = 0\).

Câu 1:  Viết phương trình đường tròn tâm I(6 ; – 4) đi qua điểm A(8 ; – 7).

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn tâm I  bán kính \(IA = \left| {\overrightarrow {IA} } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}}  = \sqrt {13} \) là:

\({\left( {x – 6} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 13\)

Câu 2:  Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1; 2), B(5; 2), C(1 ; – 3).

Hướng dẫn giải

Giả sử  tâm đường tròn là điểm \(I\left( {a;b} \right)\). Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\)

Vì \(I{A^2} = I{B^2},I{B^2} = I{C^2}\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 – a} \right)^2} + {\left( {2 – b} \right)^2} = {\left( {5 – a} \right)^2} + {\left( {2 – b} \right)^2}\\{\left( {5 – a} \right)^2} + {\left( {2 – b} \right)^2} = {\left( {1 – a} \right)^2} + {\left( { – 3 – b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = \frac{{ – 1}}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(I\left( {3; – \frac{1}{2}} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {41} }}{2}\)

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C là: \({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{41}}{4}\)

Câu 3: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( { – {\rm{ }}1{\rm{ }};-4} \right)\) thuộc đường tròn\({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y + 7} \right)^2} = 25\)

Hướng dẫn giải

Đường tròn có tâm \(I\left( {3; – 7} \right)\).

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( { – {\rm{ }}1{\rm{ }};-4} \right)\) thuộc đường tròn \({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y + 7} \right)^2} = 25\) là: \(\left( { – 1 – 3} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( { – 4 + 7} \right)\left( {y + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  – 4\left( {x + 1} \right) + 3\left( {y + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  – 4x + 3y + 8 = 0\)  

============

Thuộc chủ đề: Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng