Lý thuyết Bài 3: Phương trình đường thẳng – Toán 10 Cánh Diều

Bài 3: Phương trình đường thẳng – Toán 10 Cánh Diều

=======

1.1. Phương trình tham số của đường thẳng

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Nhận xét

+ Nếu \(\overrightarrow u \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) thì k\(\overrightarrow u \) (\(k \ne 0\)) cũng là vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.

+ Hai vectơ \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) và \(\overrightarrow u \left( {-b;a} \right)\) vuông góc với nhau nên nêu \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) thì \(\overrightarrow u \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Ví dụ: Lập phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(2; -3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {4; – 1} \right)\).

Giải

Phương trinh tham số của đường thẳng \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 4t\\
y =  – 3 – t
\end{array} \right.\)

1.2. Phương trình tổng quát của đường thẳng

a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Nhận xét

+ Nếu \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) thi k\(\overrightarrow n \) (\(k \ne 0\)) cũng là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \).

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng

Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ, lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(2: 1) và nhận \(\overrightarrow n \left( {3;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.

Giải

Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là 3(x – 2)+ 4(y – 1) = 0 hay 3x + 4y – 10 = 0

Nhận xét: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta \): ax + by + c = 0

+ Nếu b = 0 thì phương trình \(\Delta \) có thể đưa về dạng x = m (với \(m =  – \frac{c}{a}\)) và \(\Delta \) vuông góc với Ox.

+ Nếu \(b \ne 0\) thì phương trình \(\Delta \) có thể đưa về dạng y =  nx + p (với \(n =  – \frac{a}{b},p =  – \frac{c}{b}\))

1.3. Lập phương trình đường thẳng

Khi lập phương trình đường thẳng, ta thường gặp ba trường hợp như sau:

– Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và biết vectơ pháp tuyến.

– Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và biết vectơ chỉ phương.

– Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước.

a) Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\left( {\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 } \right)\) làm vectơ pháp tuyến là \(a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {y – {y_0}} \right) = 0\).

b) Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\left( {\overrightarrow u  \ne \vec 0} \right)\) làm vectơ chỉ phương là \(\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + at\\
y = {y_0} + bt
\end{array} \right.\) (t là tham số).

Nếu \(a \ne 0\) và \(b \ne 0\) thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng A ở dạng: \(\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b}\). 

c) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Đường thẳng \(\Delta\) đi qua hai điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right),B\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) nên nhận vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_1} – {x_0};{y_1} – {y_0}} \right)\) làm vectơ chỉ phương. Do đó. phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + \left( {{x_1} – {x_0}} \right)t\\
y = {y_0} + \left( {{y_1} – {y_0}} \right)t
\end{array} \right.\) (t là tham số).

Nếu \({x_1} – {x_0} \ne 0\) và \({y_1} – {y_0} \ne 0\) thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng \(\Delta\) ở dạng:

\(\frac{{x – {x_0}}}{{{x_1} – {x_0}}} = \frac{{y – {y_0}}}{{{y_1} – {y_0}}}\)

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng A thoả mãn mỗi điều kiện sau:

a) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm M(- 2 ; – 3) và có \(\overrightarrow n  = \left( {2;5} \right)\) là vectơ pháp tuyến;

b) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm M(3 ; – 5) và có \(\overrightarrow u  = \left( {2;-4} \right)\) là vectơ chỉ phương;

c) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua hai điểm A(- 3; 4) và B( 1; – 1).

Giải

a) Phương trình \(\Delta\) là 2(x + 2) + 5(y + 3) = 0 ⇔ 2x + 5y + 19 =0.

b) Phương trình \(\Delta\) là \(\frac{{x – 3}}{2} = \frac{{y + 5}}{{ – 4}} \Leftrightarrow 4x + 2y – 2 = 0 \Leftrightarrow 2x + y – 1 = 0\). 

c) Phương trình \(\Delta\) là \(\frac{{x + 3}}{{1 – \left( { – 3} \right)}} = \frac{{y – 4}}{{\left( { – 1} \right) – 4}} \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y – 4}}{{ – 5}} \Leftrightarrow 5x + 4y – 1 = 0\). 

Câu 1:  Cho đường thẳng \(\Delta \)có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 – 2t\\y =  – 2 + t\end{array} \right.\) 

a) Chỉ ra tọa độ của hai điểm thuộc đường thẳng \(\Delta \).

b) Điểm nào trong các điểm \(C( – 1: – 1).{\rm{ }}D\left( {1:3} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \)?

Hướng dẫn giải

a) Chọn \(t = 0;t = 1\) ta lần được được 2 điểm A và B thuộc đường thẳng \(\Delta \) là: \(A\left( {1; – 2} \right),B\left( { – 1; – 1} \right)\)

b) +) Thay tọa độ điểm C vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 – 2t\\ – 1 =  – 2 + t\end{array} \right.\). Do hệ phương trình vô nghiệm nên C không thuộc đường thẳng \(\Delta \)

+) Thay tọa độ điểm D vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 – 2t\\3 =  – 2 + t\end{array} \right.\). Do hệ phương trình vô nghiệm nên D không thuộc đường thẳng \(\Delta \)

Câu 2:  Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là\(x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) .

a) Chỉ ra toạ độ của một vectơ pháp tuyến và một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

b) Chỉ ra toạ độ của hai điểm thuộc \(\Delta \).

Hướng dẫn giải

a) Tọa độ vecto pháp tuyến của \(\Delta \) là:  

Tọa độ vecto chỉ phương của \(\Delta \) là:

b) Chọn \(x = 0;x = 1\) ta lần được được 2 điểm A và B thuộc đường thẳng \(\Delta \) là: \(A\left( {0;1} \right),B\left( {1;2} \right)\)

============

Thuộc chủ đề: Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng