Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ – Toán 10 Cánh Diều
=======
1.1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right),\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)\) và số thưucj k. Khi đó: \(\begin{array}{l} |
---|
Ví dụ: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;5} \right),\overrightarrow b = \left( {4; – 2} \right)\). Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b ,\overrightarrow a – \overrightarrow b ,3\overrightarrow a , – 5\overrightarrow b \)
Giải
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {1 + 4;5 + \left( { – 2} \right)} \right) = \left( {5;3} \right);\\
\overrightarrow a – \overrightarrow b = \left( {1 – 4;5 – \left( { – 2} \right)} \right) = \left( { – 3;7} \right);\\
3\overrightarrow a = \left( {3.1;3.5} \right) = \left( {3;15} \right);\\
– 5.\overrightarrow b = \left( { – 5.4; – 5.\left( { – 2} \right)} \right) = \left( { – 20;10} \right)
\end{array}\)
1.2. Toạ độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm của tam giác
+ Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Toa độ trung điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) của đoạn thẳng AB là
\({x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\)
+ Cho tam giác ABC có \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\). Toa độ trọng tâm \(G\left( {{x_G};{y_G}} \right)\) của tam giác ABC là:
\({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\)
Ví dụ
Cho tam giác MNP có toạ độ các đỉnh là M(2; 2), N(6; 3) và P(5; 5)
a) Tìm toa đô trung điểm E của cạnh MN.
b) Tìm toa độ trọng tâm G của tam giác MNP.
Giải
Ta có: \({x_E} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{2 + 6}}{2} = 4;{y_E} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = \frac{{2 + 3}}{2} = \frac{5}{2}\). Vậy \(E\left( {4;\frac{5}{2}} \right)\)
Ta có: \({x_G} = \frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = \frac{{2 + 6 + 5}}{3} = \frac{{13}}{3};{y_G} = \frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = \frac{{2 + 3 + 5}}{3} = \frac{{10}}{3}\)
Vậy \(G\left( {\frac{{13}}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\)
1.3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Nếu \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thì \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2}\). |
---|
Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 2), B(1; – 1), C(8; 0).
a) Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \) và \(cos\widehat {ABC}\).
b) Chứng minh \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \).
c) Giải tam giác ABC.
Giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {BA} = \left( {1;3} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {7;1} \right)\). Do đó \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 1.7 + 3.1 = 10\).
Mặt khác, ta cũng có:
\(\begin{array}{l}
\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} ,\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{7^2} + {1^2}} = \sqrt {50} ,\\
cos\widehat {ABC} = cos\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .\sqrt {50} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}
\end{array}\)
b) Do \(\overrightarrow {AB} = \left( { – 1; – 3} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {6; – 2} \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left( { – 1} \right).6 + \left( { – 3} \right).\left( { – 2} \right) = 0\).
Vậy \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \).
c) Do \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \) nên \(\widehat {BAC} = {90^0}\), tức là tam giác ABC vuông tại A.
Mà \(cos\widehat {ABC} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\) nên \(\widehat {ABC} \approx {63^0}\). Vì thế \(\widehat {ACB} \approx {90^0} – {63^0} = {27^0}\).
Mặt khác, ta có:
\(\begin{array}{l}
AB = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {10} ,\\
BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 ,\\
CA = \sqrt {B{C^2} – A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2}} = 2\sqrt {10}
\end{array}\)
Câu 1:
a) Cho \(\overrightarrow u = \left( { – 2;0} \right),\overrightarrow v = \left( {0;6} \right),\overrightarrow w = \left( { – 2;3} \right)\). Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow w \)
b) Cho \(\overrightarrow u = \left( {\sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow v = \left( {0;\sqrt 7 } \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow w \)sao cho \(\overrightarrow w + \overrightarrow u = \overrightarrow v \)
Hướng dẫn giải
a) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow w \) là: \(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow w = \left( { – 2 + 0 + \left( { – 2} \right);0 + 6 + 3} \right) = \left( { – 4;9} \right)\)
b) Ta có: \(\overrightarrow w + \overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow w = \overrightarrow v – \overrightarrow u \) nên \(\overrightarrow w = \left( {0 – \sqrt 3 ; – \sqrt 7 – 0} \right) = \left( { – \sqrt 3 ; – \sqrt 7 } \right)\)
Câu 2: Cho ba điểm A(-1; 1), B(1;5), G(1 ; 2).
a) Chứng minh ba điểm A, B, G không thẳng hàng.
b) Tìm toạ độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;4} \right),\overrightarrow {AG} = \left( {2;1} \right)\)
Do \(\overrightarrow {AB} \ne k.\overrightarrow {AG} \) nên A, B, G không thẳng hàng
b) Giả sử C có tọa độ là: \(C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\)
Để G là trọng tâm tam giác ABC thì: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} – {x_A} – {x_B}\\{y_C} = 3{y_G} – {y_A} – {y_B}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3.1 – \left( { – 1} \right) – 1 = 3\\{y_C} = 3.2 – 1 – 5 = 0\end{array} \right.\)
Vậy tọa độ điểm C là: \(C\left( {3;0} \right)\)
============
Thuộc chủ đề: Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Trả lời