Tính xác suất có điều kiện bằng công thức Bayes trong bài toán sản xuất

1. Đề bài

Một nhà máy có hai phân xưởng A và B cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng A sản xuất 60% tổng số sản phẩm, phân xưởng B sản xuất 40% tổng số sản phẩm. Tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng A là 2% và của phân xưởng B là 3%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho chung của nhà máy và phát hiện đó là phế phẩm. Tính xác suất để phế phẩm đó do phân xưởng A sản xuất.

2. Dạng toán

Bài toán tính xác suất có điều kiện vận dụng công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (Toán 12 – Chương trình mới).

3. Phương pháp giải

• Bước 1: Chọn hệ biến cố đầy đủ $H_1, H_2,…, H_n$.
• Bước 2: Gọi $X$ là biến cố đề bài cho biết đã xảy ra.
• Bước 3: Tính xác suất toàn phần $P(X)$ theo công thức: $P(X) = P(H_1)P(X|H_1) + P(H_2)P(X|H_2) + … + P(H_n)P(X|H_n)$.
• Bước 4: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất có điều kiện cần tìm: $P(H_i|X) = \frac{P(H_i)P(X|H_i)}{P(X)}$.

4. Lời giải chi tiết

Gọi $H_1$ là biến cố “Sản phẩm chọn ra do phân xưởng A sản xuất”.

Gọi $H_2$ là biến cố “Sản phẩm chọn ra do phân xưởng B sản xuất”.

Ta thấy $H_1, H_2$ tạo thành một hệ biến cố đầy đủ. Dựa vào cơ cấu sản lượng, ta có xác suất: $P(H_1) = 0.6$ và $P(H_2) = 0.4$.

Gọi $X$ là biến cố “Sản phẩm chọn ra là phế phẩm”.

Theo giả thiết, tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng A và B lần lượt là 2% và 3%, nên xác suất để có phế phẩm khi biết rõ nguồn gốc sản xuất là: $P(X|H_1) = 0.02$ và $P(X|H_2) = 0.03$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất chọn được phế phẩm từ kho chung là:

$P(X) = P(H_1)P(X|H_1) + P(H_2)P(X|H_2) = 0.6 \times 0.02 + 0.4 \times 0.03 = 0.012 + 0.012 = 0.024$.

Xác suất để phế phẩm đó do phân xưởng A sản xuất chính là xác suất có điều kiện $P(H_1|X)$. Áp dụng công thức Bayes, ta được:

$P(H_1|X) = \frac{P(H_1)P(X|H_1)}{P(X)} = \frac{0.012}{0.024} = 0.5$.

Kết luận: Xác suất phế phẩm đó do phân xưởng A sản xuất là 0.5 (hay 50%).

5. Bài tập tự luyện

Câu 1. Một phòng khám thống kê được có 1% bệnh nhân mắc bệnh D. Xét nghiệm loại bệnh này cho thấy: người mắc bệnh D có kết quả dương tính là 90%, người không mắc bệnh D có kết quả dương tính là 5%. Chọn ngẫu nhiên một người khám, xét nghiệm cho kết quả dương tính. Tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh D.

Câu 2. Ba lớp 12A, 12B, 12C tham gia một kỳ thi. Lớp 12A chiếm 30% tổng số thí sinh, 12B chiếm 50%, 12C chiếm 20%. Tỉ lệ thi đỗ của 12A là 80%, 12B là 70%, 12C là 90%. Chọn ngẫu nhiên một thí sinh và thấy người này thi đỗ. Tính xác suất thí sinh đó thuộc lớp 12B.

Câu 3. Có hai hộp bi giống nhau. Hộp 1 có 3 bi trắng và 7 bi đen. Hộp 2 có 6 bi trắng và 4 bi đen. Chọn ngẫu nhiên một hộp, sau đó rút ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó thì được bi màu trắng. Tính xác suất viên bi trắng đó được lấy từ hộp 1.

Câu 4. Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia. Xác suất bắn trúng của người thứ nhất là 0.8, của người thứ hai là 0.6. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và người đó bắn 1 viên. Kết quả bia bị trúng đạn. Tính xác suất viên đạn trúng bia là do người thứ nhất bắn.

Câu 5. Một nhà máy có 3 máy I, II, III sản xuất lần lượt 20%, 30% và 50% tổng sản lượng. Tỉ lệ phế phẩm của các máy tương ứng là 5%, 4% và 2%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy thì được phế phẩm. Tính xác suất phế phẩm này do máy III sản xuất.

Xem đáp án và lời giải

Câu 1: Gọi $D$ là biến cố mắc bệnh, $X$ là biến cố xét nghiệm dương tính. $P(D)=0.01, P(\bar{D})=0.99$. Xác suất toàn phần: $P(X) = 0.01 \times 0.9 + 0.99 \times 0.05 = 0.0585$. Công thức Bayes: $P(D|X) = \frac{0.009}{0.0585} \approx 0.1538$.

Câu 2: Gọi $B$ là biến cố chọn thí sinh lớp 12B, $D$ là biến cố thi đỗ. Xác suất toàn phần thí sinh đỗ: $P(D) = 0.3 \times 0.8 + 0.5 \times 0.7 + 0.2 \times 0.9 = 0.77$. Áp dụng Bayes: $P(B|D) = \frac{0.5 \times 0.7}{0.77} = \frac{5}{11} \approx 0.4545$.

Câu 3: Gọi $H_1, H_2$ là biến cố chọn hộp 1 và 2. $P(H_1)=P(H_2)=0.5$. Gọi $T$ là biến cố lấy bi trắng. Xác suất lấy bi trắng: $P(T) = 0.5 \times 0.3 + 0.5 \times 0.6 = 0.45$. Theo Bayes: $P(H_1|T) = \frac{0.5 \times 0.3}{0.45} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$.

Câu 4: Gọi $X_1, X_2$ là biến cố chọn xạ thủ 1 và 2. $P(X_1)=P(X_2)=0.5$. Gọi $T$ là biến cố bắn trúng. Xác suất bia trúng: $P(T) = 0.5 \times 0.8 + 0.5 \times 0.6 = 0.7$. Xác suất do người 1 bắn: $P(X_1|T) = \frac{0.5 \times 0.8}{0.7} = \frac{4}{7} \approx 0.5714$.

Câu 5: Gọi $P$ là biến cố lấy được phế phẩm. Xác suất toàn phần được phế phẩm: $P(P) = 0.2 \times 0.05 + 0.3 \times 0.04 + 0.5 \times 0.02 = 0.032$. Xác suất do máy III sản xuất: $P(III|P) = \frac{0.5 \times 0.02}{0.032} = \frac{0.01}{0.032} = \frac{5}{16} = 0.3125$.