📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Cho hàm số $y = \frac{x^2 – x + 4}{x – 1}$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên khoảng $(1; 5)$ bằng:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $y = f(x)$ trên khoảng $(a; b)$:
- Bước 1: Tính đạo hàm $f'(x)$ và tìm các nghiệm $x_1, x_2, \dots, x_k \in (a; b)$ của phương trình $f'(x) = 0$ (hoặc các điểm làm $f'(x)$ không xác định).
- Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng $(a; b)$, tính các giới hạn tại hai đầu mút $\lim_{x \to a^+} f(x)$ và $\lim_{x \to b^-} f(x)$.
- Bước 3: Căn cứ vào bảng biến thiên để kết luận $\min_{(a; b)} f(x)$ và $\max_{(a; b)} f(x)$ (nếu tồn tại).
Lưu ý: Trên khoảng $(a; b)$, nếu giá trị cực trị duy nhất là cực tiểu và hai đầu mút tiến ra $+\infty$ thì giá trị cực tiểu đó chính là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(a; b)$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Biến đổi hàm số và tính đạo hàm
Hàm số xác định và liên tục trên khoảng $(1; 5)$.
Ta có biến đổi: $$y = \frac{x^2 – x + 4}{x – 1} = \frac{x(x – 1) + 4}{x – 1} = x + \frac{4}{x – 1}$$
Tính đạo hàm: $$y’ = 1 – \frac{4}{(x – 1)^2} = \frac{(x – 1)^2 – 4}{(x – 1)^2} = \frac{x^2 – 2x – 3}{(x – 1)^2}$$
Cho $y’ = 0 \iff (x – 1)^2 = 4 \iff \left[\begin{aligned} x – 1 &= 2 \\ x – 1 &= -2 \end{aligned}\right. \iff \left[\begin{aligned} x &= 3 \in (1; 5) \\ x &= -1 \notin (1; 5) \end{aligned}\right.$$
Bước 2: Lập bảng biến thiên trên khoảng $(1; 5)$
– Tại $x = 3$: $y(3) = 3 + \frac{4}{3 – 1} = 3 + 2 = 5$.
– Giới hạn tại hai đầu mút:
$$\lim_{x \to 1^+} y = \lim_{x \to 1^+} \left(x + \frac{4}{x – 1}\right) = +\infty$$
$$\lim_{x \to 5^-} y = 5 + \frac{4}{5 – 1} = 5 +
Để lại phản hồi