📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^2 + \frac{16}{x}$ trên khoảng $(0; 4)$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Quy trình tìm GTLN – GTNN của hàm số $y = f(x)$ trên khoảng $(a; b)$:
1. Tính đạo hàm: Tìm $f'(x)$ và giải phương trình $f'(x) = 0$ để tìm các nghiệm $x_0 \in (a; b)$ (hoặc điểm mà tại đó đạo hàm không xác định).
2. Lập bảng biến thiên: Xét dấu của $f'(x)$ trên khoảng $(a; b)$ và tính các giới hạn ở hai đầu mút: $\lim_{x \to a^+} f(x)$ và $\lim_{x \to b^-} f(x)$.
3. Đánh giá kết luận: Dựa vào chiều biến thiên và các giá trị cực trị cùng giới hạn tại hai đầu mút để xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có).
* Lưu ý: Nếu hàm số chỉ có một điểm cực trị duy nhất $x_0$ trên $(a; b)$ và đó là điểm cực tiểu thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại đó: $\min_{(a; b)} f(x) = f(x_0)$. Ngoài ra, có thể dùng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) khi điều kiện biến dương thuận lợi: $x^2 + \frac{16}{x} = x^2 + \frac{8}{x} + \frac{8}{x} \ge 3\sqrt[3]{x^2 \cdot \frac{8}{x} \cdot \frac{8}{x}} = 12$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Cách 1: Khảo sát đạo hàm và lập bảng biến thiên
Hàm số $f(x) = x^2 + \frac{16}{x}$ xác định và liên tục trên khoảng $(0; 4)$.
Đạo hàm của hàm số:
$$f'(x) = 2x – \frac{16}{x^2} = \frac{2x^3 – 16}{x^2} = \frac{2(x^3 – 8)}{x^2}$$
Cho $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^3 – 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2$. Nhận thấy $x = 2 \in (0; 4)$.
Xét dấu của đạo hàm trên khoảng $(0; 4)$:
- Với $x \in (0; 2)$: $x^3 < 8 \Rightarrow f'(x) < 0$, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.
- Với $x \in (2; 4)$: $x^3 > 8 \Rightarrow f'(x) > 0$, do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(2; 4)$.
Tính các giá trị liên quan:
- Tại $x = 2$: $f(2) = 2^2 + \frac{16}{2} = 4 + 8 = 12$.
- Giới hạn tại đầu mút trái: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(x^2 + \frac{16}{x}\right) = +\infty$.
- Giới hạn tại đầu mút phải: $\lim_{x \to 4^-} f(x) = 4^2 + \frac{16}{4} = 16 + 4 = 20$.
Bảng biến thiên tóm tắt:
– $f'(x)$ mang dấu $(-)$ trên $(0; 2)$, bằng $0$ tại $x = 2$, và mang dấu $(+)$ trên $(2; 4)$.
– Chiều biến thiên: $f(x)$ giảm từ $+\infty$ xuống $12$, sau đó tăng từ $12$ lên $20$.
Từ bảng biến thiên, ta thấy với mọi $x \in (0; 4)$ thì $f(x) \ge 12$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = 2$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(0; 4)$ là $\min_{(0; 4)} f(x) = 12$.
👉 Chọn đáp án: A
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng $(0; 3)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 – 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (do $x \in (0; 3)$).
– Trên khoảng $(0; 2)$: $f'(x) < 0$ nên hàm số nghịch biến.
– Trên khoảng $(2; 3)$: $f'(x) > 0$ nên hàm số đồng biến.
Do đó, điểm cực tiểu $x = 2$ là điểm mà hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên $(0; 3)$.
$\min_{(0; 3)} f(x) = f(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4$.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = \frac{x}{x^2 + 4}$ trên khoảng $(0; 4)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 4 – x^2 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in (0; 4)$.
– Trên khoảng $(0; 2)$: $f'(x) > 0$ hàm số đồng biến.
– Trên khoảng $(2; 4)$: $f'(x) < 0$ hàm số nghịch biến.
Vì vậy, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = 2$:
$\max_{(0; 4)} f(x) = f(2) = \frac{2}{2^2 + 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 3: Cho hàm số $f(x) = x + \frac{9}{x – 1}$ trên khoảng $(1; 5)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Để lại phản hồi