Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x^2 + 2x + 4}{x}$ trên khoảng $(0; 4)$

Cách 1: Sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên

Biến đổi hàm số đã cho: $$y = \frac{x^2 + 2x + 4}{x} = x + 2 + \frac{4}{x}$$

Với $x \in (0; 4)$, đạo hàm của hàm số là: $$y’ = 1 – \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 – 4}{x^2}$$

Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 – 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (do $x \in (0; 4)$ nên loại $x = -2$).

Tính các giá trị và giới hạn:

• $y(2) = 2 + 2 + \frac{4}{2} = 6$.
• $\lim_{x \to 0^+} y = \lim_{x \to 0^+} \left(x + 2 + \frac{4}{x}\right) = +\infty$.
• $\lim_{x \to 4^-} y = 4 + 2 + \frac{4}{4} = 7$.

Bảng biến thiên:

$x$	$0$		$2$		$4$
$y’$	||	$-$	$0$	$+$	|
$y$	||	$\searrow$	$6$	$\nearrow$	$7$

Từ bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng $(0; 4)$, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 2$, và $\min_{(0; 4)} y = 6$.

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Với mọi $x \in (0; 4)$, ta có $x > 0$ và $\frac{4}{x} > 0$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương: $$x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2 \cdot 2 = 4$$ Suy ra: $$y = x + 2 + \frac{4}{x} \ge 4 + 2 = 6$$ Dấu bằng xảy ra khi $x = \frac{4}{x} \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2 \in (0; 4)$.
Vậy $\min_{(0; 4)} y = 6$.

👉 Chọn đáp án: B