Tìm được trên đồ thị $\left( C \right):y=\dfrac{x+2}{x-3}$ những điểm $M$ sao cho khoảng cách từ điểm $M$ đến đường tiệm cận đứng bằng $\dfrac{1}{5}$ khoảng cách từ điểm $M$ đến đường tiệm cận ngang

Tìm được trên đồ thị $\left( C \right):y=\dfrac{x+2}{x-3}$ những điểm $M$ sao cho khoảng cách từ điểm $M$ đến đường tiệm cận đứng bằng $\dfrac{1}{5}$ khoảng cách từ điểm $M$ đến đường tiệm cận ngang. Hỏi có bao nhiêu điểm $M$ thỏa mãn?
Đáp án: 2

Lời giải: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $\left( -\infty ;3 \right)\cup \left( 3;+\infty \right)$
Gọi đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt là $\left( {{d}_{1}} \right):x=3,\left( {{d}_{2}} \right):y=1$.
$M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)\Rightarrow M\left( {{x}_{0}};\dfrac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-3} \right)$
Ta có $d\left( M,{{d}_{1}} \right)=\left| {{x}_{0}}-3 \right|,d\left( M,{{d}_{2}} \right)=\left| \dfrac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-3}-1 \right|=\left| \dfrac{5}{{{x}_{0}}-3} \right|$
Theo bài ra ta có $\left| {{x}_{0}}-3 \right|=\dfrac{1}{5}\left| \dfrac{5}{{{x}_{0}}-3} \right|\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-3 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {{x}_{0}}=4 \\ {{x}_{0}}=2 \end{array} \right.$
Vậy có $2$ điểm thỏa mãn ${{M}_{1}}\left( 2;-4 \right),{{M}_{2}}\left( 4;6 \right)$.