(THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – 2022) Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để bất phương trình \(\log _2^2x – (2m + 5){\log _2}x + {m^2} + 5m + 4 < 0\) có it nhất một nghiệm nguyên và không quá 1791 nghiệm nguyên?

A. 10.

B. 3.

C. 9.

D. 11.

Lời giải:

Biến đổi bất phương trình: \(\log _2^2x – (2m + 5){\log _2}x + {m^2} + 5m + 4 < 0 \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x – (m + 1)} \right)\left( {{{\log }_2}x – (m + 4)} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow m + 1 < {\log _2}x < m + 4 \Leftrightarrow {2^{m + 1}} < x < {2^{m + 4}} \Rightarrow {S_x} = \left( {{2^{m + 1}};{2^{m + 4}}} \right).\)

\( + \) Nếu \({2^{m + 4}} \le 1 \Leftrightarrow m \le – 4 \Rightarrow {S_x} \subset (0;1)\) không chứa số nguyên nào (loại).

+ Nếu \(m = – 3 \Rightarrow {S_x} = \left( {{2^{ – 2}};2} \right)\) thoả mãn.

+ Nếu \(m = – 2 \Rightarrow {S_x} = \left( {{2^{ – 1}};4} \right)\) thoả mãn.

\( + \) Nếu \({2^{m + 1}} \ge 1 \Leftrightarrow m \ge – 1 \Rightarrow {2^{m + 1}},{2^{m + 4}} \in \mathbb{Z}\) nên \({S_x}\) chứa các số nguyên là \({2^{m + 1}} + 1, \ldots ,{2^{m + 4}} – 1\)

\( \Rightarrow \) ycbt \( \Leftrightarrow 1 \le \left( {{2^{m + 4}} – 1} \right) – \left( {{2^{m + 1}} + 1} \right) + 1 \le 1791 \Leftrightarrow \frac{1}{7} \le {2^m} \le 128 \Leftrightarrow – 2,8 \approx {\log _2}\left( {\frac{1}{7}} \right) \le m \le 7\).

Vậy \(m \in \{ – 3, \ldots ,7\} \).