Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài:  Giả sử $x,y$ liên hệ với nhau bởi hệ thức $3x^2+4xy+3y^2=14$. Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x,y \leq 14$ Lời giải Từ giả thiết bài toán suy ra $x,y$ không đồng thời bằng $0$. Gọi $Q(x,y)=x^2+y^2$Trường hợp $1: x=0$ hoặc $y=0$ dễ dàng suy ra $Q=\frac{14}{3}                          (1)$Trường hợp $2: xy \neq 0$, đặt $y=x.t, t \in R$ ta … [Đọc thêm...] vềĐề bài:  Giả sử $x,y$ liên hệ với nhau bởi hệ thức $3x^2+4xy+3y^2=14$. Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x,y \leq 14$

Đề bài: Các số $a,b,c,d$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng nếu lấy số $m$ sao cho $2m \ge|ad-bc|$, thì ta có với mọi $x$:  $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+ {m^2} \ge 0$ Lời giải Gọi $k > 0$ là cộng sai của cấp số cộng, ta có $b = a + k,c = a + 2k,d = a + 3k$ và điều kiện $2m \ge \left| {a{\rm{d  -  bc}}} \right| = \left| {a\left( {a + 3k} \right) - … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Các số $a,b,c,d$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng nếu lấy số $m$ sao cho $2m \ge|ad-bc|$, thì ta có với mọi $x$:  $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+ {m^2} \ge 0$

Đề bài: Cho $a,b,c \geq 1.$Hãy chứng minh:$1/\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$$2/\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} $(Đây là dạng bất đẳng thức JenSen) Lời giải $1/$ Bài toán $\Leftrightarrow \left ( 2+a^{2}+b^{2} \right )\left ( 1+ab \right )\geq 2\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a,b,c \geq 1.$Hãy chứng minh:$1/\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$$2/\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} $(Đây là dạng bất đẳng thức JenSen)

Đề bài: Chứng minh với mọi $x,y,z$ không âm ta luôn có:  $xyz \geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)       (1)$ Lời giải                                      Giải Để ý: Với $x,y,z$ không âm thì trong ba số $a=(y+z-x), b=(x+z-y), c=(x+y-z)$ không thể có quá một số âmGiả sử có hai số âm, do tính bình đẳng của $x,y,z$ giả sử $\begin{cases}x+y-zCộng vế theo vế ta có: $2x+ Nếu … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh với mọi $x,y,z$ không âm ta luôn có:  $xyz \geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)       (1)$

Đề bài: Chứng minh rằng với 3 số dương $a,b,c$ bất kì, ta luôn có: $\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}$ Lời giải Ta có:$\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge \frac{{2{\rm{a  -  b}}}}{{\rm{3}}}\Leftrightarrow 3a^3\ge a(a^2+ab+b^2)+a^3-b^3\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng với 3 số dương $a,b,c$ bất kì, ta luôn có: $\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}$